Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Teorema Enumerasi Polya #4: Notasi Permutasi Versi Matriks Dua Baris

{ 13.Jun.2021 } { matematika }

Di artikel Teorema Enumerasi Polya #3: Permutasi Sebagai Pindah Letak, kita berkutat dengan contoh permutasi bola di mangkuk yang seperti ini.

 

 

Selain contoh permutasi perpindahan bola di mangkuk di atas, kita juga bisa membuat contoh permutasi seperti di bawah ini.

 

Pertanyaannya, "bagaimana cara menyatakan 2 permutasi di atas dalam notasi matematika?"

Jelas akan sangat merepotkan sekali apabila kita harus menggambarkan permutasi tersebut bukan? Apalagi jika objeknya bukan berupa bola berwarna dalam mangkuk. :)

 

Untuk menyatakan permutasi sebagai notasi matematika, kita bisa berangkat dari diagram pemetaan terkait permutasi tersebut. Sebagai contoh, untuk contoh permutasi bola di mangkuk yang teratas, diagram pemetaannya adalah sebagai berikut. 

Dari diagram di atas kita dapat membuat notasi matematika pemetaan seperti berikut.

$\begin{matrix} \text{Mangkuk 1} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 3} \\ \text{Mangkuk 2} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 1}  \\ \text{Mangkuk 3} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 2}  \\ \end{matrix}$

Sedangkan untuk contoh permutasi bola di mangkuk yang terbawah dapat dinotasikan sebagai berikut.

$\begin{matrix} \text{Mangkuk 1} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 3} \\ \text{Mangkuk 2} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 2}  \\ \text{Mangkuk 3} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 1}  \\ \end{matrix}$

 

Notasi pemetaan sebagaimana di atas sudah lebih ringkas dibandingkan jika harus menggambar ilustrasi permutasi. Akan tetapi, notasi matematika yang lebih umum digunakan untuk menyatakan suatu permutasi adalah dengan menggunakan matriks yang memiliki dua baris seperti di bawah ini.

Notasi Pemetaan Notasi Matriks 2 Baris
$\begin{matrix} \text{Mangkuk 1} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 3} \\ \text{Mangkuk 2} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 1}  \\ \text{Mangkuk 3} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 2}  \\ \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{matrix} \text{Mangkuk 1} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 3} \\ \text{Mangkuk 2} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 2}  \\ \text{Mangkuk 3} & \longrightarrow & \text{Mangkuk 1}  \\ \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

 

Apabila notasi matriks 2 baris kita "bedah" akan diperoleh keterangan sebagaimana di bawah ini. Contoh notasi matriks 2 baris ini mengacu pada contoh permutasi bola di mangkuk yang teratas.