Pembahasan Ujian Tengah Semester Aljabar Linear Elementer di UGM Tahun Akademik 2004/2005

Soal Nomor 1

Tentukan sistem persamaan linear homogen dengan dua persamaan di mana persamaan yang satu bukan merupakan kelipatan dari yang lain sedemikian hingga 

$x_1 = 1$, $~~x_2 = -1$, $~~x_3 = 1$, $~~x_4 = 2$
$x_1 = 2$, $~~x_2 = 0$, $~~x_3 = 3$, $~~x_4 = -1$

adalah penyelesaian dari sitem tersebut!

 

Soal Nomor 2

Setiap hari, seorang pasien harus mengonsumsi 5 mg vitamin A, 13 mg vitamin B, dan 23 mg vitamin C. Suatu apotek menyediakan 3 merek pil suplemen yang mengandung vitamin A, B, dan C sebagaimana yang tampak pada tabel di bawah.

	Vitamin A	Vitamin B	Vitamin C
Pil Merk I	1 mg	2 mg	4 mg
Pil Merk II	1 mg	1 mg	3 mg
Pil Merk III	0 mg	1 mg	1 mg

 

1. Tentukan semua kombinasi pil suplemen yang memenuhi kebutuhan harian dari pasien tersebut (pil harus utuh).
2. Jika harga pil merek I, II, III berturut-turut adalah USD0,9, USD0,6, dan USD1,5 per pil, maka tentukan pengobatan yang paling mahal!
    

Soal Nomor 3

Diberikan matriks

$A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0\\
1 & 0 & 0  & 1 \\
0 & -1 & 3  & 0 \\
2 & 1 & 5  & -3 \\
\end{bmatrix}$
 

1. Selidiki apakah $A$ invertible!
2. Jika $A$ invertible, tentukanlah inversnya!

 

Soal Nomor 4

Tunjukan bahwa persamaan garis $g$ pada bidang yang melalui titik $P_1(a_1, b_1)$ dan $P_2(a_2, b_2)$ dapat dinyatakan dengan

$g = \begin{vmatrix}
x & y & 1 \\
a_1 & b_1 & 1  \\
a_2 & b_2 & 1  \\
\end{vmatrix} = 0.$

 

Dengan menggunakan soal di atas, tunjukan bahwa titik $P_1(a_1, b_1)$, $P_2(a_2, b_2)$, dan $P_3(a_3, b_3)$ berada dalam satu garis lurus, jika

$\begin{vmatrix}
a_3 & b_3 & 1 \\
a_1 & b_1 & 1  \\
a_2 & b_2 & 1  \\
\end{vmatrix} = 0.$
 

Soal Nomor 5

Tunjukan jika $P_1(a_1, b_1)$, $P_2(a_2, b_2)$, dan $P_3(a_3, b_3)$ tak segaris, maka

Luas segitiga $P_1P_2P_3$ $= \displaystyle \frac{1}{2}~~\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & 1 \\
a_2 & b_2 & 1  \\
a_3 & b_3 & 1  \\
\end{vmatrix}.$

 

Hitung luas segitiga yang dibentuk oleh titik $P_1 (100, 1)$, $P_2 (-10, 8)$, dan $P_3 (1, 100)$!
 

Soal Nomor 6

Misalkan $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, $ dan $l$ merupakan digit angka yang nilainya dapat berupa 1,2,3,... hingga 9.

Kemudian, dari $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, $ dan $l$ tersebut dibentuk bilangan $abc$, $def$, $ghi$, dan $jkl$.

Jika $abc$, $def$, $ghi$, dan $jkl$ habis dibagi 7, buktikan bahwa

$\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d+j & e+k & f + l  \\
g & h & i  \\
\end{vmatrix}$

juga habis dibagi 7!

 

Berikut adalah berkas PDF pembahasannya.

DOWNLOAD Pembahasan Ujian Tengah Semester 2004/2005 Aljabar Linear Elementer UGM