Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2021/2022

{ 2023 } { matematika }

Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.

Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Struktur Aljabar 1 (populer disingkat sebagai PSA 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 2 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku hanya sekali mengikuti mata kuliah ini karena sudah berhasil mendapatkan nilai akhir A.

Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2021/2022. Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada.

 

Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Struktur Aljabar 1

  1. Diberikan himpunan $G$ dengan definisi sebagai berikut.
     

    $G ~=~ \mathbb{Z} \cdot 2 ~+~ \mathbb{Z}(1 + \sqrt{19}) ~=~ \{2a + b(1 + \sqrt{19}) ~|~ a,b \in \mathbb{Z}\}$

    1. Tumjukkan bahwa $G$ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan!
    2. Selidiki apakah $G - \{0\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian!


     
    1. Show that the following are equivalent for a group $G$!
      1. for every $a, b, c \in G$ satisfying $ab = ca$, we have $b = c$; and
      2. $G$ is commutative
    2. Suppose that $G$ is a group in which every element has order 1 or 2. Show that $G$ must be commutative!


     
  3. Diberikan grup komutatif $G$ dan bilangan asli $k$. Misalkan $e_G$, adalah elemen identitas di $G$ dan dibentuk himpunan $H$ dan $K$ dengan definisi sebagai berikut.
     

    $H ~=~ \{ a \in G ~|~ a^k = e_G\}$

    $K ~=~ \{ a^k \in G ~|~ a \in G\}$

    Tunjukkan bahwa $H$ dan $K$ keduanya merupakan subgrup dari $G$!
     
  4. Diberikan grup $G$ yang memuat subgrup $H$ dengan order 28 dan subgrup $K$ dengan order 65. Tunjukkan bahwa $H \cap K = \{e_G\}$!

 

Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1

  1. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3\}$. Diketahui
     

    $S_3 = \{f : A \to A ~~|~~ f \text{ pemetaan bijektif} \}$

    merupakan grup terhadap operasi komposisi fungsi.

    Diketahui juga bahwa himpunan $\mathbb{Z}_5^* = \{\bar{x} \in \mathbb{Z}_5 ~|~ \bar{x} \neq \bar{0}\}$ merupakan grup terhadap operasi modulo di $\mathbb{Z}_5$.

    Jika dibentuk pengaitan $\psi : S_3 \to \mathbb{Z}_5^*$ dengan definisi:
     

    $\psi(\alpha) ~\stackrel{\text{def}}{=}~ \overline{\alpha(1)}$

    untuk setiap $\alpha \in S_3$, selidiki apakah pengaitan $\psi$ merupakan homomofisma grup atau bukan! Jelaskan jawaban Saudara!
     
  2. Suppose $V_4 = \{e, a, b, ab\}$ is a group with the following multiplication table
     
    $\star$ $e$ $a$ $b$ $ab$
    $e$ $e$ $a$ $b$ $ab$
    $a$ $a$ $e$ $ab$ $b$
    $b$ $b$ $ab$ $e$ $a$
    $ab$ $ab$ $b$ $a$ $e$

    Investigate whether $V_4 \cong \mathbb{Z}_4$ or not!


     
  3. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Diketahui
     

    $S_6 = \{f : A \to A ~~|~~ f \text{ pemetaan bijektif} \}$

    merupakan grup terhadap operasi komposisi fungsi.

    Jika $f = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, maka:
    1. Sajikan $f$ sebagai perkalian dari sikel-sikel saling asing!
    2. Sajikan $f$ sebagai perkalian dari transposisi-transposisi!
    3. Tentukan order dari $f$!
    4. Tentukan $f^{2.022}$ dimana $f^{2.022} = f \circ f \circ f \circ ... \circ f \circ f$(sebanyak $2.022$ kali)!


     
  4. Diketahui $(G, \star)$ merupakan grup komutatif.
    Diketahui juga $H$ dan $K$ masing-masing menupakan subgrup dari $G$.

    Diperhatikan bahwa $H \times K$ merupakan grup terhadap operasi biner $\otimes$ dengan definisi:

    $(h_1, k_1) \otimes (h_2, k_2) ~\stackrel{\text{def}}{=}~ (h_1 \star h_2,~ k_1 \star k_2)$

    untuk setiap $(h_1, k_1), (h_2, k_2) \in H \times K$. \textcolor{red}{(tidak perlu dibuktikan!)}


    Jika dibentuk himpunan $N = \{(x, x^{-1}) ~|~ x \in H \cap K \}$, maka:
    1. Buktikan bahwa $N$ merupakan subgrup normal dari $H \times K~~$!
    2. Buktikan bahwa $(H \times K)/N \cong HK~~$!

 

 

Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 pada tahun akademik 2021/2022. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.

 DOWNLOAD Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2021/2022

 

###

 

Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.

 

Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.

 

Udah ah.

 

Kata Kunci