Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021

Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.

Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Struktur Aljabar 1 (populer disingkat sebagai PSA 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 2 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku hanya sekali mengikuti mata kuliah ini karena sudah berhasil mendapatkan nilai akhir A.

Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021. Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada.

 

Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Struktur Aljabar 1

1. Misalkan $G$ grup, $g \in G$, dan didefinisikan operasi perkalian baru pada $G$ dengan rumus $ab = agb$ untuk semua $a,b \in G$. Buktikan bahwa $G$ terhadap operasi perkalian ini adalah suatu grup!
    
2. Let $G$ be a group and let $a,b \in G$ be elements such that $ab = ba$. Prove that $o(ab)\;|\;o(a)o(b)$.
   (Order $ab$ divides order $a$ times order $b$)
    
3. Misalkan $G$ grup dan $H_1$, $H_2$ subgrup dari $G$. Buktikan $H_1 \cup H_2$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $H_1 \subseteq H_2$ atau $H_2 \subseteq H_1$.
    
4. Jika $G$ grup berorder $2n$, tunjukkan bahwa banyaknya elemen dari $G$ yang berorder 2 adalah ganjil.

 

Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1

1. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3\}$. Diketahui
    

   $S_3 = \Big\{ f : A \to A ~~|~~ f = \text{ pemetaan bijektif}\Big\}$

   merupakan grup terhadap operasi komposisi fungsi.
   
   Diketahui juga bahwa himpunan $\mathbb{Z}^{*}_{5} = \{\bar{x} \in \mathbb{Z}_5 ~|~ \bar{x} \neq \bar{0}\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian modulo di $\mathbb{Z}_5$.
   
   Jika dibentuk pengaitan

   $\psi: S_3 \to \mathbb{Z}^{*}_{5}$

   dengan definisi

   $\psi \overset{\text{def}}{=} \overline{\alpha(1)}$

   untuk setiap $\alpha \in S_3$, selidiki apakah pengaitan $\psi$ merupakan homomorfisma grup atau bukan! Jelaskan jawaban Saudara!
   
    
2. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3,4,5,6\}$. Diketahui
    

   $S_6 = \Big\{ f : A \to A ~~|~~ f = \text{ pemetaan bijektif}\Big\}$

   merupakan grup terhadap operasi komposisi fungsi.
   1. Apakah ada $f \in S_6$ yang memenuhi $o(f) = 4$? Jelaskan jawaban saudara!
   2. Apakah ada $f \in S_6$ yang memenuhi $o(f) = 7$? Jelaskan jawaban saudara!
   3. Jika $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 \\ \end{pmatrix}$, tentukan $f^{2.021}$!
      
      Sebagai catatan $f^{2.021} = \underbrace{f \circ f \circ f \circ f \circ ... \circ f}_{\text{sebanyak 2.021}}$.}
      
       
3. Let $(G, \star)$ and $(H,\otimes)$ be groups. Suppose that the functions $\phi : G \to H$ and $\psi : G \to H$ are homomorphisms.
   
   If $H$ is commutative, then show that
    

   $N = \{g \in G ~|~ \phi(g) = \psi(g)\}$

   is a normal subgroup of $G$.
   
   
    
4. Diketahui $(G, \star)$ merupakan grup komutatif dan $H$, $K$ masing-masing merupakan subgrup dari $G$.\\Diperhatikan bahwa $H \times K$ merupakan grup terhadap operasi biner $\oplus$ dengan definisi $(h_1, k_1)\oplus(h_2, k_2) = (h_1 \star h_2, k_1 \star k_2)$ untuk setiap $(h1, k1),(h2, k2) \in H \times K$. (tidak perlu dibuktikan).
   
   Selanjutnya, misalkan:

   $N = \big\{ (x, x^{-1}) ~|~ x \in H \cap K \big\}$

   1. Buktikan bahwa $N$ merupakan subgrup normal dari $H \times K$!
   2. Buktikan bahwa $(H \times K)/N \simeq HK$!

 

 

Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 pada tahun akademik 2020/2021. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.

 DOWNLOAD Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021

 

###

 

Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.

 

Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.

 

Udah ah.