Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2019/2020
Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.
Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Struktur Aljabar 1 (populer disingkat sebagai PSA 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 2 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku hanya sekali mengikuti mata kuliah ini karena sudah berhasil mendapatkan nilai akhir A.
Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 di UGM Tahun Akademik 2019/2020. Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada.
Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Struktur Aljabar 1
- Let $n$ be a positive integer and let $S_n$ be the symetric group on elements. Fix a permutation $\sigma \in S_n$. We define a binary relation $\backsim$ on $\{1, 2, 3, ..., n\}$ by
$x \sim y$ if and only if there is an $m \in \mathbb{Z}$ for which $\sigma^m(x) = y$
- Show that $\sim$ is an equivalence relation!
- Suppose $n=6$ and $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 2 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix}$.
Find the equivalence classes for the equivalence relation $\sim$ from part (a)!
-
- Diberikan grup berhingga $G$ dengan banyak anggota $n$, $G = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$. Jika $G$ komutatif, dan $x = a_1a_2...a_n$ tunjukkan bahwa $x^2 = e$, dengan $e$ elemen identitas dari $G$.
- Diberikan grup $G$ dengan sifat $(ab)^2 = a^2 b^2$ untuk setiap $a, b \in G$. Buktikan bahwa $G$ komutatif!
- Diberikan grup $G$, dan $N$, $K$ masing-masing subgrup dari $G$. Jika $N$ subgrup normal dari $G$, maka buktikan bahwa $KN = \{kn~|~k \in K, n \in N\}$ merupakan subgrup dari $G$!
- Diberikan bilangan bulat $n>1$ dan grup $G$ dengan sifat $(ab)^n = a^nb^n$ untuk semua $a, b \in G$. Buktikan bahwa:
- $G^n = \{x^n ~|~ x \in G\}$ merupakan subgrup normal dari $G$.
- $G[n] = \{z \in G ~|~ z^n = e\}$ merupakan subgrup normal dari $G$.
Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Struktur Aljabar 1
- Let $G$ be any group. Show that the function $f: G \rightarrow G$ defined by $f(x) = x^2$ is group homomorphism if and only if $G$ is an abelian group!
- Tentukan kernel dari homomorfisma $T_A: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dengan definisi $T_A(v) = Av$, untuk matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$!
- Misalkan $V_4 = \{e,\;a,\;b,\;ab\}$ adalah grup dengan tabel multiplikasi berikut.
Selidiki apakah $V_4 \cong Z_4$!$\star$ $e$ $a$ $b$ $ab$ $e$ $e$ $a$ $b$ $ab$ $a$ $a$ $e$ $ab$ $b$ $b$ $b$ $ab$ $e$ $a$ $ab$ $ab$ $b$ $a$ $e$
- Misalkan $G$ grup abelian dengan elemen identitas $e$. \\Jika $H = \{\;x^2~|~x \in G\;\}$ dan $K = \{\;x \in G~|~x^2 = e\;\}$, buktikan $G/K \cong H$!
Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar 1 pada tahun akademik 2019/2020. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.
###
Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.
Udah ah.