Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021

{ 2023 } { matematika }

Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.

Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Analisis 1 (dikenal akrab sebagai Pengantar Analisis Real 1 atau yang populer disingkat sebagai PAR 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 5 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku sempat mengulang mata kuliah ini pada semester 9, semester terakhirku kuliah di UGM. Biasalah, memperbaiki nilai dari C menjadi A.

Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Analisis 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021. Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada.

 

Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Analisis (Real) 1

  1. Diketahui $A = \left\{\displaystyle 1 - \frac{1}{n} ~:~ n \in \mathbb{N} \right\}$. Buktikan supremum himpunan A adalah 1!
     
  2. Diketahui $E \subseteq \mathbb{R}$ dan $E'$ adalah koleksi semua titik limit himpunan $E$. Jika $x \in E'$ tunjukkan bahwa untuk setiap $\epsilon > 0$, $N_{\epsilon}(x)$ memuat tak hingga banyak elemen dari $E$!
     
    1. Jika barisan $(x_n)$ terbatas dan barisan $(y_n)$ konvergen ke 0, buktikan barisan $(x_n \cdot y_n)$ konvergen ke 0!
    2. Tunjukkan barisan $(\sqrt[n]{n})$ konvergen dan tentukan limit barisannya!
       
  4. Diketahui $x_n = \displaystyle 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$.
    1. Tunjukkan barisan $(x_n)$ naik dan terbatas ke atas!
    2. Tentukan $\text{sup}\{ x_n ~:~ n \in \mathbb{N} \}$!
       
  5. Menggunakan definisi limit fungsi, tunjukkan bahwa:
    1. $\displaystyle \lim_{x \to 1}{\left( \frac{x^2-x-3}{x+2} \right) = -1}$
    2. $\displaystyle \lim_{x \to c}{ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{c}}}$, $\forall c > 0$.
       
  6. Let $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
    1. Suppose there exist constants $L$ and $K > 0$ such that

      $|f(x) - L| \leq K|x -c|$, for $x \in \mathbb{R}$

      Show that $\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x) = L}$
    2. If $\displaystyle \lim_{x \to 0}{f(x) = L}$ and $a > 0$, show that $\displaystyle \lim_{x \to 0}{f(ax) = L}$!

 

Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis (Real) 1

    1. Jika $E = \{x~:~ x^2 - 4 < 3x\}$, tunjukkan $E$ terbatas! Selanjutnya, tentukan $\text{sup}(E)$ dan $\text{inf}(E)$!
    2. Diberikan himpunan terbatas dan tak kosong $A, B \subset \mathbb{R}$. Tunjukkan $A \cap B$ terbatas! Selanjutnya, tentukan $\text{sup}(A \cap B)$ dan $\text{inf}(A \cap B)$!
       
  2. Diberikan barisan-barisan $(x_n)$ dan $(y_n)$.
    Diketahui $x_n,~ y_n \geq 0$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Jika $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_n$ dan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_n$ keduanya konvergen, selidiki apakah $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_n \cdot y_n$ juga konvergen! Jelaskan jawaban Saudara!
     
  3. Show that $A \subset \mathbb{R}$ is closed if and only $A$ contains all of its limit point!
     
  4. Diberikan fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sehingga $f(x + y) = f(x) + f(y)$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$.
    Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0}{f(x)}$ ada, tunjukkan:
    1. $\displaystyle \lim_{x \to 0}{f(x)} = 0$.
    2. $\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}$ ada untuk setiap $c \in \mathbb{R}$.
       
    1. Jika fungsi $g:[0, 1] \to \mathbb{R}$ kontinu dan $g(0) = g(1)$, tunjukkan ada $c \in \displaystyle \left[0,\frac{1}{2}\right]$ sehingga $\displaystyle g(c) = g \left(c + \frac{1}{2}\right)$.
    2. Tunjukkan $x^4 + 7x^2 - 9 = 0$ sekurang-kurangnya mempunyai 2 akar real!

 

 

Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Analisis 1 pada tahun akademik 2020/2021. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.

 DOWNLOAD Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis (Real) 1 di UGM Tahun Akademik 2020/2021

 

###

 

Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.

 

Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.

 

Udah ah.

Kata Kunci