Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis 1 (Semester Genap) di UGM Tahun Akademik 2021/2022

{ 2023 } { matematika }

Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.

Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Analisis 1 (dikenal akrab sebagai Pengantar Analisis Real 1 atau yang populer disingkat sebagai PAR 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 5 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku sempat mengulang mata kuliah ini pada semester 9, semester terakhirku kuliah di UGM. Biasalah, memperbaiki nilai dari C menjadi A.

Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Analisis 1 di UGM untuk semester genap Tahun Akademik 2021/2022. Mbuh piye, kok pada Tahun Akademik 2021/2022, mata kuliah Pengantar Analisis 1 dilaksanakan di semester ganjil dan semester genap.

 

Oke deh! Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada. Ini dia!

 

Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Analisis (Real) 1

    1. Diberikan $a, b \in \mathbb{R}$. Jika $a-\epsilon < b$, untuk setiap $\epsilon > 0$, tunjukkan $a \leq b$.
    2. Diberikan $E = \left\{ \displaystyle 1 - \frac{(-1)^n}{n} ~:~ n \in \mathbb{N} \right\}$. Tunjukkan $E$ terbatas! Selanjutnya, tentukan $\text{sup}(E)$ dan $\text{inf}(E)$!

     
    1. Prove that the complement of $A^0$ is the closure of $A^c$!
    2. Give an example of $A \subset \mathbb{R}$ such that $A^0 = \emptyset$ but $\bar{A} = \mathbb{R}$.

     
    1. Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$, dengan $x_1 \geq 2$, $x_{n+1} = 1+\sqrt{x_n - 1}$, $n \in \mathbb{N}$.
      Tunjukkan barisan $(x_n)$ terbatas ke bawah! Tentukan $\text{inf} \{x_n : n \in \mathbb{N}\}$~!
    2. Jika $A \subset \mathbb{R}$ himpunan tak hingga, terbatas ke bawah dan $x = \text{inf} (A)$, tunjukkan ada barisan turun monoton $(x_n)$ sehingga $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{x_n = x}$.

     
  4. Diketahui $x_n \geq 0$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Jika $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$ konvergen dan $|y_n| \leq x_n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, tunjukkan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$ konvergen.
     
  5. Tentukan suatu bilangan $\delta > 0$ sehingga apabila $|x-2|<\delta$, maka akan berakibat $\displaystyle \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \right| < 1$.

 

Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis (Real) 1

  1. Diberikan fungsi $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $c$ titik limit $A$, serta $\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}$ ada dan bernilai tak nol. Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa terdapat $\delta > 0$ sehingga

    $f(x)f(y)>0$

    untuk setiap $x,y \in A$ dengan $0 < |x-c| < \delta$ dan $0 < |y-c| < \delta$.
     
  2. Diberikan fungsi $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $c$ titik limit $A$ dengan $\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)} = 0$. Jika $f(x) > 0$ untuk setiap $x \in A$, buktikan bahwa $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to c}{\frac{1}{f(x)}} = \infty$.
     
    1. Buktikan bahwa setiap fungsi $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ merupakan fungsi kontinu seragam.
    2. Diketahui fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ merupakan fungsi kontinu seragam. Jika terdapat $p > 0$ sehingga $|f(x)| \geq p$ berlaku untuk sctiap $x \in R$, buktikan bahwa fungsi $\displaystyle \frac{1}{f}$ merupakan fungsi kontinu seragam.

     
    1. Buktikan bahwa terdapat $c \in [0, 1]$ yang memenuhi $c + \tan c = 1$.
    2. Tunjukkan bahwa persamaan $x^4-x^3 + x-2=0$ memiliki minimal dua solusi.

     
  5. Let $s, t \in \mathbb{R}$ such that $1 < 3s < 3t < 9$.

    Show that $\displaystyle \frac{|s-t|}{3} < \left| \ln \left( \frac{s}{t} \right) \right|< 3 |s-t|$

 

 

Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Analisis 1 pada semester genap tahun akademik 2021/2022. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.

 DOWNLOAD Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis (Real) 1 di UGM semester genap Tahun Akademik 2021/2022

 

###

 

Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.

 

Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.

Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.

 

Udah ah.

Kata Kunci