Pembuktian Teorema Lagrange

Halo! :D

Di artikel sebelum ini kita sudah membahas tentang jumlah elemen pada koset (baik itu koset kiri maupun koset kanan) adalah sama dengan jumlah elemen pada subgrup yang membangunnya. Nah, sekarang kita akan menelaah Teorema Lagrange yang masih berkaitan dengan jumlah elemen subgrup. Teorema ini berlaku untuk grup berhingga, yaitu grup yang jumlah elemennya berhingga (finite).

Teorema

Jika $G$ grup berhingga terhadap suatu operasi biner $\star$ dan $H$ subgrup dari $G$, maka order $H$ membagi habis order $G$.

Pembuktian

Sebelumnya, jangan lupa dengan definisi bahwa order merupakan jumlah elemen pada suatu grup! :D

Dari artikel sebelum ini, diketahui bahwa order dari setiap koset yang dibangun oleh $H$ itu sama dengan order $H$, yaitu untuk sebarang koset (kiri) $gH$ (dengan $g \in G$) maka berlaku $m = | gH | = | H |$. Demikian pula dengan koset (kanan) $Hg$.

Perhatikan bahwa koset merupakan suatu partisi. Misalkan saja kita himpun seluruh koset pada $G$ yang dibangun dari $H$ yaitu $X = \{ g_1H, g_2H, g_3H, \dots \}$. Karena koset merupakan suatu partisi, maka setiap elemen di $G$ pasti termuat dalam tepat satu koset!

Misalkan $n = |G|$. Kita ambil satu demi satu elemen pada $G$ (sebut saja elemen-elemen ini sebagai $g_1, g_2, g_3, \dots, g_n$) dan membentuk koset dari $H$ yaitu $g_1H, g_2H, g_3H, \dots, g_nH$.

Jika untuk suatu elemen $g_x$ ternyata terdapat elemen $g_y$ (dan $g_x \neq g_y$) sehingga $g_xH = g_yH$, maka $g_x$ dan $g_y$ termuat di dalam suatu kelas partisi yang sama. Dengan demikian elemen-elemen pada $G$ terbagi dengan "rata" ke sejumlah $s$ koset yang dibangun dari $H$.

Jadi, kita peroleh $n = sm$ atau dengan kata lain order $H$ membagi habis order $G$.