Pembuktian Sifat Jumlah Elemen pada Koset dan Subgrup

Halo! :D

Pada kesempatan ini aku mau membahas tentang jumlah elemen pada suatu koset, karena sesungguhnya baik itu koset kanan maupun koset kiri kedua-duanya memiliki jumlah elemen yang sama seperti jumlah elemen pada subgrup yang membangunnya.

Hah? Kok bisa?

 

Jadi kan begini. Misalkan diketahui $G$ grup terhadap suatu operasi biner $\star$ dan $H$ subgrup dari $G$. Pertama-tama kita telaah dahulu kasus bilamana $H$ merupakan grup berhingga yaitu grup yang memiliki jumlah elemen yang berhingga (finite).

Untuk membuktikan bahwa baik koset kanan maupun koset kiri dari $H$ memiliki jumlah elemen yang sama dengan $H$, maka kita harus menunjukkan bahwa terdapat suatu pemetaan bijektif $\phi : H \rightarrow gH$. Eh, pemetaan $\phi$ yang aku singgung barusan ini kan untuk $gH$ yang tidak lain adalah koset kiri. Sedangkan untuk koset kanan pembuktiannya mirip seperti koset kiri yang bakal aku tunjukkan ini.

 

Nah, untuk pemetaan bijektif $\phi : H \rightarrow gH$ itu kita konstruksi saja dari pemetaan alami (natural mapping). Yaitu, untuk setiap $h \in H$ kita definisikan $\phi (h) = g \star h$.

Jelas bahwa $\phi$ ini adalah pemetaan yang terdefinisi dengan baik, yaitu setiap elemen $h \in H$ selalu dapat dioperasikan dengan $g \in G$ bukan? Itu tidak lain karena $H$ merupakan subgrup dari $G$.

 

Dari definisi pemetaan $\phi$ di atas, jelas bahwa $\phi$ merupakan pemetaan surjektif. Ya nggak mungkin dong kalau $\phi$ bukan pemetaan surjektif! Misalnya ada suatu elemen $x \in gH$ yang mana untuk setiap $h \in H$ berlaku $g \star h \neq x$. Kan sudah jelas, karena $x \in gH$ maka $x = g \star h_1$ untuk suatu $h_1 \in H$. Ya kan?

  

Selain merupakan pemetaan surjektif, $\phi$ juga merupakan pemetaan injektif lho! Semisal masih ragu-ragu, cara pembuktiannya adalah sebagai berikut.

Misalkan diambil sebarang $x, y \in Range(\phi)$, maka $x = \phi(h_1)$ dan $y = \phi(h_2)$ untuk suatu $h_1, h_2 \in H$. Ya kan?

Karena $x = \phi(h_1)$ maka $x = g \star h_1$. Demikian pula, karena $y = \phi(h_2)$ maka $y = g \star h_2$.

Untuk menunjukkan bahwa $\phi$ merupakan pemetaan surjektif kita harus menunjukkan bahwa jika $\phi(h_1) = \phi(h_2)$ maka berlaku $h_1 = h_2$.

Perhatikan, karena $H$ merupakan subgrup dari $G$, maka sifat kanselasi di $G$ berlaku di $H$. Dengan demikian, diperoleh:

$\phi(h_1) = \phi(h_2) \\ g \star h_1 = g \star h_2 \\ h_1 = h_2$

Jadi, terbukti bahwa $\phi$ merupakan pemetaan injektif!

 

Karena $\phi$ merupakan pemetaan surjektif sekaligus pemetaan injektif, maka $\phi$ merupakan pemetaan bijektif. Jadi dapat disimpulkan bahwa jumlah elemen di koset kiri $(gH)$ sama dengan jumlah elemen di subgrup $H$.

Dengan cara serupa dapat ditunjukkan pula jumlah elemen di koset kanan $(Hg)$ sama dengan jumlah elemen di subgrup $H$.

 

Eh, itu penjabaran panjang di atas ini kan kalau subgrup $H$ memiliki jumlah elemen yang berhingga. Sedangkan kalau $H$ memiliki jumlah elemen yang tak berhingga (infinite), pemetaan bijektif dapat dikonstruksi dari definisi persamaan ukuran himpunan $H$ dan $gH$.