Teorema Enumerasi Polya #8: Grup Simetri
Pada tulisan sebelumnya, kita sudah mengenal grup permutasi.
Grup permutasi grup dengan elemen-elemennya berupa permutasi dan operasi biner yang berlaku adalah operasi komposisi permutasi.
Salah satu contoh grup permutasi adalah $G = \{e, a, b\}$, dengan $e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, $a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, dan $b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Pada contoh di atas, $e$, $a$, dan $b$ merupakan permutasi dari 3 objek yang disimbolkan dengan angka 1, 2, dan 3.
Perhatikan bahwa permutasi-permutasi berikut:
- $c = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
- $d = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
- $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$
juga merupakan permutasi dari 3 objek selain $e$, $a$, dan $b$.
Kita tahu bahwa banyaknya permutasi dari 3 objek adalah sebanyak $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ permutasi, yang tidak lain adalah $e$, $a$, $b$, $c$, $d$, dan $f$.
Selanjutnya, jika kita bentuk himpunan $S = \{e, a, b,c,d,e,f\}$, maka $S$ merupakan suatu grup permutasi.
Nah, grup $S$ inilah yang disebut sebagai grup simetri, yaitu grup permutasi yang elemen-elemennya adalah semua permutasi dari himpunan objek $X$.
Dengan demikian, apabila kita membicarakan suatu grup simetri, maka terlebih dahulu kita harus mengetahui himpunan objek $X$.
Jika kita mengetahui himpunan objek $X$, maka kita dapat menentukan apakah banyaknya elemen di $X$ itu berhingga (finite) atau tidak berhingga (infinite).
Jika $X$ merupakan himpunan berhingga (finite set), maka kita dapat membentuk grup simetri atas $X$.
Grup simetri atas $X$ ini kita notasikan sebagai $S_n$ dengan $n$ merupakan banyaknya elemen-elemen di $X$.
Sebagai contoh misalkan kita punya himpunan objek $X$ yang memuat 7 elemen.
Berdasarkan himpunan $X$, maka kita dapat membentuk grup simetri $S_7$.
Grup simetri $S_7$ memuat semua permutasi dari 7 objek. Banyaknya elemen di $S_7$ adalah $7! = 5.040$.
Salah satu elemen di $S_7$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 4 & 1 & 3 & 2 & 7 & 5 & 6 \end{pmatrix}$.