Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Teorema Enumerasi Polya #8: Grup Simetri

{ 5.Des.2021 } { matematika }

Pada tulisan sebelumnya, kita sudah mengenal grup permutasi. 

Grup permutasi grup dengan elemen-elemennya berupa permutasi dan operasi biner yang berlaku adalah operasi komposisi permutasi.

Salah satu contoh grup permutasi adalah $G = \{e, a, b\}$, dengan $e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, $a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, dan $b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.

 

Pada contoh di atas, $e$, $a$, dan $b$ merupakan permutasi dari 3 objek yang disimbolkan dengan angka 1, 2, dan 3.

Perhatikan bahwa permutasi-permutasi berikut:

  • $c = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
  • $d = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
  • $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

juga merupakan permutasi dari 3 objek selain $e$, $a$, dan $b$.

 

Kita tahu bahwa banyaknya permutasi dari 3 objek adalah sebanyak $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ permutasi, yang tidak lain adalah $e$, $a$, $b$, $c$, $d$, dan $f$.

 

Selanjutnya, jika kita bentuk himpunan $S = \{e, a, b,c,d,e,f\}$, maka $S$ merupakan suatu grup permutasi.

Nah, grup $S$ inilah yang disebut sebagai grup simetri, yaitu grup permutasi yang elemen-elemennya adalah semua permutasi dari himpunan objek $X$.

 

Dengan demikian, apabila kita membicarakan suatu grup simetri, maka terlebih dahulu kita harus mengetahui himpunan objek $X$.

Jika kita mengetahui himpunan objek $X$, maka kita dapat menentukan apakah banyaknya elemen di $X$ itu berhingga (finite) atau tidak berhingga (infinite). 

Jika $X$ merupakan himpunan berhingga (finite set), maka kita dapat membentuk grup simetri atas $X$.

Grup simetri atas $X$ ini kita notasikan sebagai $S_n$ dengan $n$ merupakan banyaknya elemen-elemen di $X$.

 

Sebagai contoh misalkan kita punya himpunan objek $X$ yang memuat 7 elemen.

Berdasarkan himpunan $X$, maka kita dapat membentuk grup simetri $S_7$.

Grup simetri $S_7$ memuat semua permutasi dari 7 objek. Banyaknya elemen di $S_7$ adalah $7! = 5.040$.

Salah satu elemen di $S_7$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 4 & 1 & 3 & 2 & 7 & 5 & 6 \end{pmatrix}$.