Teorema Enumerasi Polya #2: Pengertian Permutasi

Permutasi (permutation). Suatu istilah yang mungkin sudah kita kenal saat mempelajari matematika di bangku SMA.

 

Jadi, apakah permutasi itu?

 

Salah satu penjelasan singkatnya, permutasi adalah ragam cara/metode untuk menyusun sejumlah objek secara berurutan. 

 

Ragam cara atau metode.
Sejumlah objek.
Disusun.
Secara terurut.

 

#1. Himpunan Objek

Sesuai penjelasan di atas, karena permutasi bersinggungan dengan urutan sejumlah objek, maka dari itu kita harus memiliki suatu himpunan objek sebagai modal awal. Kita notasikan saja himpunan objek ini sebagai $X$.

Elemen-elemen di himpunan $X$ ini bebas ya. Bisa angka, huruf, matriks, atau objek lainnya. Bebas. Yang penting, banyaknya elemen di $X$ itu berhingga (finite).

Contoh #1

Himpunan $X$ itu boleh berupa: 

• $X = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$,
• $X = \{ a, b, c \}$,
• $X = \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \}$,
• dan lain-lain.

 

#2. Urutan Objek

Jika kita memiliki sejumlah $n$ objek, maka kita dapat memberi "label" nomor urut pada objek-objek tersebut dengan angka 1, 2, 3 hingga $n$.

Contoh #2.1

Misalkan himpunan $X$ memuat 5 objek, yaitu $a_1, a_2, a_3, a_4$ dan $a_5$. Kita dapat memberi nomor urut pada objek-objek tersebut seperti ini.

Urutan ke-1: $a_1$ Urutan ke-2: $a_2$ Urutan ke-3: $a_3$ Urutan ke-4: $a_4$ Urutan ke-5: $a_5$

atau

Urutan ke-1: $a_2$ Urutan ke-2: $a_3$ Urutan ke-3: $a_4$ Urutan ke-4: $a_1$ Urutan ke-5: $a_5$

atau

Urutan ke-1: $a_3$ Urutan ke-2: $a_2$ Urutan ke-3: $a_4$ Urutan ke-4: $a_5$ Urutan ke-5: $a_1$

dan sebagainya ....

 

Contoh #2.2

Bayangkan himpunan $X$ sebagai ember yang di dalamnya berisi bola plastik berwarna merah, kuning, dan hitam.

$X = \{ \text{bola merah}, \text{bola kuning}, \text{bola hitam} \}$

   

Kita dapat mengeluarkan bola yang berada di dalam ember $X$ secara satu per satu. Sedemikian sehingga ember $X$ menjadi kosong melompong alias tidak lagi memuat bola-bola plastik.

 

Perhatikan bahwa urutan bola yang dapat kita keluarkan bermacam-macam. Misalnya, kita bisa mengeluarkan bola dari dalam ember $X$ dengan urutan seperti di bawah.

• Bola yang pertama dikeluarkan (bola keluar nomor urut 1): Bola Merah.
• Bola yang kedua dikeluarkan (bola keluar nomor urut 2): Bola Kuning.
• Bola yang ketiga/terakhir dikeluarkan (bola keluar nomor urut 3): Bola Hitam.

Sebut cara urutan pengeluaran bola di atas sebagai Cara Keluar Bola ke-1. 

 

Selain Cara Keluar Bola ke-1 di atas, kita juga bisa mengeluarkan bola dengan urutan seperti di bawah. Sebut cara urutan pengeluaran bola di atas sebagai Cara Keluar Bola ke-2.

• Bola yang pertama dikeluarkan (bola keluar nomor urut 1): Bola Hitam.
• Bola yang kedua dikeluarkan (bola keluar nomor urut 2): Bola Merah.
• Bola yang ketiga/terakhir dikeluarkan (bola keluar nomor urut 3): Bola Kuning.

 

#3. Banyaknya Permutasi

Perhatikan Contoh #2.2 di atas. Selain Cara Keluar Bola ke-1 dan Cara Keluar Bola ke-2, tentu kita masih dapat membuat Cara Keluar Bola yang lain. Seperti misal Cara Keluar Bola ke-3, yaitu dengan memilih bola kuning sebagai bola pertama yang dikeluarkan dari dalam ember.

Dari sini, pertanyaan yang muncul adalah

"Jadi, ada berapa banyak Cara Keluar Bola yang dapat dibuat?"  

 

Pertanyaan tersebut dapat dengan mudah dijawab menggunakan faktorial. Karena ada 3 bola dengan warna yang berbeda-beda di dalam ember $X$, maka banyaknya Cara Keluar Bola yang dapat dibuat adalah sebanyak $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ cara.

Secara umum, jika terdapat sejumlah $n$ objek pada himpunan $X$, maka banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah sebanyak $n!$.