Sifat Center Sebuah Grup
Teorema 1
Diketahui $G$ grup terhadap operasi biner $\star$ dan dipilih suatu elemen $a \in G$, maka
$H_a = \{ x \in G : x \star a = a \star x \}$
adalah subgrup dari $G$.
Pembuktian 1
Pilih sembarang $v, w \in H_a$.
Perhatikan bahwa bentuk $v \star w$!
Apabila dioperasikan dengan $a$ dari kiri akan menjadi
$a \star v \star w$
Karena $v \in H_a$, maka berlaku $v \star a = a \star v$, dengan demikian
$(a \star v) \star w = (v \star a) \star w$
Karena $w \in H_a$, maka berlaku $w \star a = a \star w$, dengan demikian
$v \star (a \star w) = v \star (w \star a)$
Jadi, diperoleh
$a \star v \star w = v \star w \star a$
Dengan kata lain, $v \star w \in H_a$.
Perhatikan bahwa $e \in H_a$ karena $a = a \star e = e \star a$.
Karena $e \in H_a$, maka untuk sebarang $z \in H_a$ berlaku
$e = z \star z^{-1} \in H_a$
Karena $z \star z^{-1} \in H_a$ maka berlaku
$a \star z \star z^{-1} = z \star z^{-1} \star a$
Karena $z \in H_a$, maka berlaku $z \star a = a \star z$, dengan demikian
$a \star z \star z^{-1} = z \star a \star z^{-1}$
Dengan demikian diperoleh
$z \star a \star z^{-1} = z \star z^{-1} \star a$
Menggunakan sifat kanselasi (cancellation) pada z diperoleh
$a \star z^{-1} = z^{-1} \star a$
Jadi, $z^{-1} \in H_a$.
Terbukti bahwa $H_a$ adalah subgrup dari $G$.