Sifat Center Sebuah Grup

Teorema 1

Diketahui $G$ grup terhadap operasi biner $\star$ dan dipilih suatu elemen $a \in G$, maka

$H_a = \{ x \in G : x \star a = a \star x \}$

adalah subgrup dari $G$.

Pembuktian 1

Pilih sembarang $v, w \in H_a$.

Perhatikan bahwa bentuk $v \star w$!

Apabila dioperasikan dengan $a$ dari kiri akan menjadi

$a \star v \star w$

Karena $v \in H_a$, maka berlaku $v \star a = a \star v$, dengan demikian

$(a \star v) \star w = (v \star a) \star w$

Karena $w \in H_a$, maka berlaku $w \star a = a \star w$, dengan demikian

$v \star (a \star w) = v \star (w \star a)$

Jadi, diperoleh

$a \star v \star w = v \star w \star a$

Dengan kata lain, $v \star w \in H_a$.

 

Perhatikan bahwa $e \in H_a$ karena $a = a \star e = e \star a$.

Karena $e \in H_a$, maka untuk sebarang $z \in H_a$ berlaku

$e = z \star z^{-1} \in H_a$

Karena $z \star z^{-1} \in H_a$ maka berlaku

$a \star z \star z^{-1} = z \star z^{-1} \star a$

Karena $z \in H_a$, maka berlaku $z \star a = a \star z$, dengan demikian

$a \star z \star z^{-1} = z \star a \star z^{-1}$

Dengan demikian diperoleh

$z \star a \star z^{-1} = z \star z^{-1} \star a$

Menggunakan sifat kanselasi (cancellation) pada z diperoleh

$a \star z^{-1} = z^{-1} \star a$

Jadi, $z^{-1} \in H_a$.

 

Terbukti bahwa $H_a$ adalah subgrup dari $G$.