Selidik Sifat: Untuk Setiap x di G Berlaku x^2 di H adalah Subgrup Normal

Diketahui $G$ adalah sebarang grup dan $H$ adalah subgrup dari $G$.

Diketahui pula sifat bahwa untuk setiap $x \in G$ berlaku $x^2 \in H$.

 

Dari sifat di atas, apa yang bisa kita selidiki dari subgrup $H$ tersebut?

 

Pertama-tama, notasi $x^2$ itu jelas ya adalah elemen $x$ dioperasikan dengan $x$.

Semisal $\star$ adalah notasi operasi biner pada grup $G$, maka $x^2$ tidak lain adalah $x \star x$.

Karena pada tulisan ini notasi operasi biner $\star$ dihilangkan untuk mempersingkat penjabaran rumus, maka sekali lagi, $x^2$ ekuivalen dengan $x \star x$.

 

Ambil sebarang $x \in G$ dan $h \in H$.

Sesuai sifat di atas, maka $x^2 \in G$ sekaligus juga $x^2 \in H$.

Kalau $h^2$ sendiri sih sudah jelas $\in H$, karena $h$ itu kan elemen di $H$. :p

 

Nah, kalau $xh$?

Eh iya lah, sudah jelas tentu bahwa $xh$ itu kan elemen di $G$.

Yang membuat penasaran, $xh$ itu apakah berada di $H$?

 

Belum tentu ah.

Elemen $xh$ itu belum tentu di $H$.

 

Tapi, kalau $xhx^{-1}$ itu bagaimana ya?

Apakah $xhx^{-1}$ berada di dalam $H$? 

Bagaimana pula dengan $x^{-1}hx$?

Apakah $x^{-1}hx$ juga berada di dalam $H$?

 

Oi, oi, oi!

Kan $xhx^{-1}$ kan itu ekuivalen dengan $x^{-1}hx$!

Karena tadi kan, di paragraf atas itu, $x$ diambil sebagai sebarang elemen di $G$ toh?

Semisal diganti notasi sebagai $yhy^{-1}$ dan dipilih $y = x^{-1}$, jadinya kan diperoleh $yhy^{-1} = x^{-1}hx$ kan?

 

Okey balik lagi kita ke penyelidikan $xhx^{-1}$!

Hmmm....

Hmmm....

Hmmm....

Diapain ya?

 

Yang akan dipaparkan berikut ini adalah suatu trik yang mungkin tidak akan disangka-sangka bagi sebagian besar orang yang sedang bergulat dengan $xhx^{-1}$.

Sebetulnya trik ini juga hasil dari cari-cari di internet sih, hehehe. :p

 

Tahu elemen identitas $e$ kan?

Karena $G$ adalah grup, maka $G$ itu memuat elemen identitas $e$ kan?

Itu lho, terdapat dengan tunggal $e \in G$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in G$ berlaku $ex = xe = x$.

Elemen identitas $e$ juga termuat di semua subgrup dari $G$ alias $e$ juga ada di dalam $H$.

 

Okey balik lagi kita ke $xhx^{-1}$.

Kalau $xhx^{-1}$ dioperasikan dengan $e$ jelas bakal menjadi $xhx^{-1}~e = e~xhx^{-1} = xhx^{-1}$.

Jelas nggak ada bedanya toh?

Buntu, $xhx^{-1}$ tetap jadi $xhx^{-1}$.

 

Eh, tapi di paragraf atas tadi kan menyinggung perihal trik kan?

Trik ini melibatkan elemen identitas $e$.

Trik ini sebetulnya hanya perbedaan sudut pandang saja sih.

 

Tadi kita mengoperasikan $e$ dari kanan dan kiri.

Kenapa tidak dicoba mengoperasikan $e$ dari tengah-tengah $xhx^{-1}$?

 

He?

Kita coba saja sisipkan elemen identitas $e$ di tengah-tengah $xhx^{-1}$.

Semisal jadi seperti ini $x\color{blue}{e}hx^{-1}$.

Karena $e$ adalah elemen identitas, maka dia bebas dimunculkan di mana saja toh?

Bagaimanapun, $x\color{blue}{e}hx^{-1}$ ekuivalen dengan $xhx^{-1}$.

 

Kemudian, kita tahu sifat dasar grup bahwasanya $e = xx^{-1}$.

Maka dari itu, 

$xhx^{-1} = x\color{blue}{e}hx^{-1} = x\color{blue}{(xx^{-1})}hx^{-1} = (xx)x^{-1}hx^{-1}$.

 

Kita punya $(xx)x^{-1}hx^{-1}$ sekarang.

 

Bagaimana kalau kita munculkan elemen $e$ lagi di tengah-tengah $(xx)x^{-1}hx^{-1}$?

Misalnya jadi, $(xx)\color{red}{e}x^{-1}hx^{-1}$.

Kemudian kita bisa pilih $e$ sebagai $e = h^{-1}h$.

Dengan demikian akan menjadi: $(xx)\color{red}{e}x^{-1}hx^{-1} = (xx)\color{red}{(h^{-1}h)}x^{-1}hx^{-1}$.

Jika posisi tanda kurung dipindah: $(xx)\color{red}{(h^{-1}h)}x^{-1}hx^{-1} = (xx)h^{-1}(hx^{-1})(hx^{-1})$.

 

Naaaaah!

Perhatikan bagian-bagian yang berwarna ini:  $\color{green}{(xx)} \color{red}{h^{-1}} \color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})}$.

• Di paragraf terataaas, kita memilih $x$ sebagai sebarang elemen di $G$. Karena sifat untuk setiap $x \in G$ berlaku $x^2 \in H$, maka ya sudah jelas dong bahwa $\color{green}{(xx)} = x^2 \in H$.
• Di paragraf terataaas, kita memilih $h$ sebagai sebarang elemen di $H$. Kan $H$ itu subgrup dari $G$. Maka dari itu $\color{red}{h^{-1}}$ juga berada di $H$ dong.
• Yang jelas, $hx^{-1}$ itu $\in G$. Dengan begitu, menurut sifat $G$, akan berlaku $\color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})} \in H$.

 

Jadi, dengan kata lain kita memperoleh berikut ini.

$\underset{\in H}{\color{green}{(xx)}}~ \underset{\in H}{\color{red}{h^{-1}}}~ \underset{\in H}{\color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})}}$

 

Jadi, $\color{green}{(xx)} \color{red}{h^{-1}} \color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})} \in H$.

 

Eh, tapi kan dari penjabaran di ataaas tadi, $\color{green}{(xx)} \color{red}{h^{-1}} \color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})}$ itu sebetulnya kan $xhx^{-1}$.

 

Jadi, $\color{green}{(xx)} \color{red}{h^{-1}} \color{blue}{(hx^{-1})(hx^{-1})} = xhx^{-1} \in H$.

 

Artinya, untuk sebarang $x \in G$ dan $h \in H$, berlaku $xhx^{-1} \in H$.

Itu ekuivalen dengan $xH = Hx$, untuk setiap $x \in G$.

Itu artinya lagi adalah $H$ merupakan subgrup normal dari $G$.