Pembuktian Sifat Subgrup #2
Misalkan $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ adalah himpunan bagian tidak kosong dari $G$.
Cara yang paling aman dan sangat "tradisional" untuk memeriksa apakah $H$ merupakan subgrup dari $G$ adalah dengan membuktikan 3 aksioma berikut berlaku.
- Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
- Jika $e$ merupakan elemen identitas di $G$, maka $e$ juga termuat di $H$.
- Jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.
Membuktikan kebenaran tiga aksioma di atas kadang-kadang banyak menghabiskan daya pikir sekaligus banyak menyita waktu (dan juga banyak kertas kalau pas ujian :p).
Nah, untuk menghemat daya pikir dan mempersingkat waktu kerja, kita dapat menggunakan teorema di bawah untuk memeriksa apakah suatu himpunan bagian merupakan subgrup.
Teorema
Diketahui $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ adalah himpunan bagian tidak kosong dari $G$.
$H$ adalah subgrup dari $G$ $\iff$ untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$
(catatan: $b^{-1}$ adalah elemen invers untuk $b$)
Pembuktian
$(\Longrightarrow)$
Diketahui $H$ adalah subgrup dari $G$. Dengan demikian, $H$ merupakan grup terhadap operasi biner $\star$.
Karena $(H, \star)$ merupakan grup, maka:
- Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
- Jika $e$ merupakan elemen identitas di $G$, maka $e$ juga termuat di $H$.
- Jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.
Ingat! Himpunan $H$ bukan himpunan kosong!
Kita tidak tahu apakah jumlah elemen di $H$ hanya 1, 2, 3, ... dst ataukah tak berhingga. Yang jelas, karena $H$ bukan himpunan kosong, maka $H$ memiliki elemen yang bisa kita pilih.
Nah, kita pilih sebarang elemen di $H$. Sebut elemen yang dipilih ini sebagai $a$.
Selanjutnya, kita pilih lagi sebarang elemen di $H$. Sebut elemen yang dipilih kedua ini sebagai $b$.
Perhatikan bahwa kita tidak tahu hubungan $a$ dengan $b$ ini seperti apa. Kemungkinannya ya $a = b$ atau $a \neq b$.
Karena $(H, \star)$ adalah grup dan $b \in H$, maka jelas bahwa invers dari $b$ termuat di $H$. Dengan kata lain, jika $b^{-1}$ merupakan invers dari $b$, maka $b^{-1} \in H$.
Karena $a \in H$ dan $b^{-1} \in H$, maka jelas bahwa $a \star b^{-1} \in H$.
Jadi, terbukti benar bahwa jika $H$ adalah subgrup dari $G$, maka untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.
$(\Longleftarrow)$
Diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$. Karena $a$ dan $b$ dikatakan sebarang, kemungkinannya bisa jadi $a = b$ atau $a \neq b$.
Jika kemungkinan yang terjadi adalah $a = b$, maka $a \star b^{-1} = b \star b^{-1} = e$.
Karena diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka ketika $a = b$ akan menyebabkan $a \star b^{-1} = e \in H$.
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa elemen identitas di $G$, yaitu $e$, juga termuat di $H$. (*1)
***
Selanjutnya, berdasarkan (*1), karena elemen identitas, yaitu $e$ termuat di $H$, maka kita dapat memilih $a = e$.
Kan pernyataann yang diketahui kebenarannya adalah:
Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.
Jika $a = e$, maka akan menjadi:
Untuk sebarang $e, b \in H$ berlaku $e \star b^{-1} \in H$.
Pernyataan di atas bisa kita sesuaikan lagi kalimatnya menjadi:
Untuk sebarang $b \in H$ berlaku $e \star b^{-1} \in H$.
Karena untuk setiap $x \in G$ berlaku $e \star x = x$, maka kalimat pernyataan di atas bisa diubah menjadi:
Untuk sebarang $b \in H$ berlaku $b^{-1} \in H$. (*2)
Dengan demikian, kita bisa menyimpulkan bahwa jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.
***
Diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.
Misalkan dipilih sebarang $c \in H$. Berdasarkan (*2), maka $c^{-1} \in H$.
Kemudian, kita tetapkan $b = c^{-1}$.
Karena untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $a \star (c^{-1})^{-1} \in H$.
Perhatikan bahwa $ (c^{-1})^{-1} = c$.
Dengan demikian, untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star c \in H$.
Karena $b = c^{-1}$, maka untuk sebarang $a, c^{-1} \in H$ berlaku $a \star c \in H$.
Kita ubah notasinya, dari $c$ menjadi $b$. Dengan demikian, kita memperoleh pernyataan:
Untuk sebarang $a, b^{-1} \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
Hmmm...
Kalimat "Untuk sebarang $b^{-1} \in H$" ini agak aneh. Karena, adanya elemen $b^{-1}$ tentu harus didahului dengan adanya elemen $b$ toh?
Apalagi (*2) menyatakan bahwa untuk sebarang $b \in H$ berlaku $b^{-1} \in H$.
Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan ini:
Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
***
Jadi, terbukti bahwa jika untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.