Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembuktian Sifat Subgrup #2

{ 4.Nov.2015 } { matematika }

Misalkan $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ adalah himpunan bagian tidak kosong dari $G$.

Cara yang paling aman dan sangat "tradisional" untuk memeriksa apakah $H$ merupakan subgrup dari $G$ adalah dengan membuktikan 3 aksioma berikut berlaku.

  1. Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
  2. Jika $e$ merupakan elemen identitas di $G$, maka $e$ juga termuat di $H$.
  3. Jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.

 

Membuktikan kebenaran tiga aksioma di atas kadang-kadang banyak menghabiskan daya pikir sekaligus banyak menyita waktu (dan juga banyak kertas kalau pas ujian :p).

Nah, untuk menghemat daya pikir dan mempersingkat waktu kerja, kita dapat menggunakan teorema di bawah untuk memeriksa apakah suatu himpunan bagian merupakan subgrup. 

 

Teorema

Diketahui $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ adalah himpunan bagian tidak kosong dari $G$.

$H$ adalah subgrup dari $G$ $\iff$ untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$

(catatan: $b^{-1}$ adalah elemen invers untuk $b$)

 

Pembuktian

$(\Longrightarrow)$

Diketahui $H$ adalah subgrup dari $G$. Dengan demikian, $H$ merupakan grup terhadap operasi biner $\star$. 

Karena $(H, \star)$ merupakan grup, maka:

  1. Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.
  2. Jika $e$ merupakan elemen identitas di $G$, maka $e$ juga termuat di $H$.
  3. Jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.

 

Ingat! Himpunan $H$ bukan himpunan kosong!

Kita tidak tahu apakah jumlah elemen di $H$ hanya 1, 2, 3, ... dst ataukah tak berhingga. Yang jelas, karena $H$ bukan himpunan kosong, maka $H$ memiliki elemen yang bisa kita pilih.

Nah, kita pilih sebarang elemen di $H$. Sebut elemen yang dipilih ini sebagai $a$.

Selanjutnya, kita pilih lagi sebarang elemen di $H$. Sebut elemen yang dipilih kedua ini sebagai $b$.

Perhatikan bahwa kita tidak tahu hubungan $a$ dengan $b$ ini seperti apa. Kemungkinannya ya $a = b$ atau $a \neq b$.

 

Karena $(H, \star)$ adalah grup dan $b \in H$, maka jelas bahwa invers dari $b$ termuat di $H$. Dengan kata lain, jika $b^{-1}$ merupakan invers dari $b$, maka $b^{-1} \in H$.

Karena $a \in H$ dan $b^{-1} \in H$, maka jelas bahwa $a \star b^{-1} \in H$.

 

Jadi, terbukti benar bahwa jika $H$ adalah subgrup dari $G$, maka untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.

 

$(\Longleftarrow)$

Diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$. Karena $a$ dan $b$ dikatakan sebarang, kemungkinannya bisa jadi $a = b$ atau $a \neq b$.

Jika kemungkinan yang terjadi adalah $a = b$, maka $a \star b^{-1} = b \star b^{-1} = e$.

Karena diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka ketika $a = b$ akan menyebabkan $a \star b^{-1} = e \in H$.

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa elemen identitas di $G$, yaitu $e$, juga termuat di $H$. (*1)

 

***

 

Selanjutnya, berdasarkan (*1), karena elemen identitas, yaitu $e$ termuat di $H$, maka kita dapat memilih $a = e$.

Kan pernyataann yang diketahui kebenarannya adalah:

Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.

Jika $a = e$, maka akan menjadi:

Untuk sebarang $e, b \in H$ berlaku $e \star b^{-1} \in H$.

Pernyataan di atas bisa kita sesuaikan lagi kalimatnya menjadi:

Untuk sebarang $b \in H$ berlaku $e \star b^{-1} \in H$.

Karena untuk setiap $x \in G$ berlaku $e \star x = x$, maka kalimat pernyataan di atas bisa diubah menjadi:

Untuk sebarang $b \in H$ berlaku $b^{-1} \in H$. (*2)

Dengan demikian, kita bisa menyimpulkan bahwa jika $a \in H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$, maka $a^{-1} \in H$.

 

***

 

Diketahui untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.

Misalkan dipilih sebarang $c \in H$. Berdasarkan (*2), maka $c^{-1} \in H$.

Kemudian, kita tetapkan $b = c^{-1}$.

Karena untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $a \star (c^{-1})^{-1} \in H$.

Perhatikan bahwa $ (c^{-1})^{-1} = c$.

Dengan demikian, untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star c \in H$.

Karena $b = c^{-1}$, maka untuk sebarang $a, c^{-1} \in H$ berlaku $a \star c \in H$.

Kita ubah notasinya, dari $c$ menjadi $b$. Dengan demikian, kita memperoleh pernyataan:

Untuk sebarang $a, b^{-1} \in H$ berlaku $a \star b \in H$.

Hmmm...

Kalimat "Untuk sebarang $b^{-1} \in H$" ini agak aneh. Karena, adanya elemen $b^{-1}$ tentu harus didahului dengan adanya elemen $b$ toh?

Apalagi  (*2) menyatakan bahwa untuk sebarang $b \in H$ berlaku $b^{-1} \in H$.

Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan ini:

Untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$.

 

***

Jadi, terbukti bahwa jika untuk sebarang $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.