Pembuktian Produk Grup Subset dari Subgrup Normal

Seperti yang kita tahu, suatu grup dapat memiliki bermacam subgrup. Nah, kali ini kita akan menyelidiki sifat dari dua subgrup apabila subgrup tersebut dioperasikan.

Bagaimana itu operasi antar 2 subgrup? Mari simak penjelasan di bawah. :D

 

Seperti biasa, misalkan kita punya suatu grup $G$ yang dilengkapi dengan operasi biner $*$. Kemudian, $H$ dan $K$ merupakan sebarang 2 subgrup pada $G$ $(H \leq G \text{ dan } K \leq G)$.

Kemudian lagi, kita ciptakan suatu himpunan baru yang elemennya merupakan hasil operasi dari elemen-elemen di $H$ dan $K$. Kita notasikan himpunan baru ciptaan ini sebagai $HK$ yang definisinya adalah sebagai berikut.

$HK = \{ h * k | h \in H \text{ dan } k \in K\}$

 

Nah, nah, nah, himpunan $HK$ ini kita sebut sebagai produk grup subset (product of group subsets).

Tapiii, jangan gegabah menyebut bahwa $HK$ ini adalah subgrup dari $G$ lho ya! 

 

 

Yang jelas dan pastinya, himpunan $HK$ ini jelas bukan himpunan kosong lho ya! :D

Karena dengan memilih $h = e$ dan $k = e$ kita akan memperoleh $e \in HK$.

Kemudian pula, dengan cara yang mirip, yaitu menetapkan satu elemen (entah $h$ atau $k$) sebagai elemen identitas, kita juga akan memperoleh $H \subset HK$ dan $K \subset HK$.

Jadi, sangat jelas banget bahwa $HK$ ini bukan himpunan kosong. 

 

Yang mengulik rasa penasaran berikutnya adalah bagaimanakah sebetulnya sifat $HK$ ini terhadap grup $G$.

Nah, di sini kita punya suatu teorema tentang produk grup subset yang berhubungan dengan subgrup normal.

 

Teorema

Diketahui grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ dan $N$ adalah 2 subgrup pada $G$.

Jika $N$ merupakan subgrup normal, maka $HN$ adalah subgrup pada $G$.

 

Pembuktian

Sebelumnya, yang perlu dicermati di sini adalah:

1. $H$ adalah sebarang subgrup pada $G$. ($H$ tidak perlu subgrup normal)
2. $N$ ditentukan jelas sebagai subgrup normal pada $G$.

 

Supaya lebih enak, kita jabarkan dulu syarat keanggotaan produk grup subset $HN$ itu seperti apa.

$HN = \{ h * n | h \in H \text{ dan } n \in N\}$

 

Kemudian, untuk membuktikan bahwa $HN$ adalah subgrup pada $G$, kita gunakan teorema terkait elemen subgrup yang ini.

Teorema (sudah terbukti)

Diketahui grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ adalah subset dari $G$.

$H$ merupakan subgrup jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $a*b^{-1} \in H$.

 

Oke, pembuktian dimulai! :)

Dengan demikian, kita ambil sebarang elemen $a,b \in HN$, maka

• $ a = h_1 * n_1$ untuk suatu $h_1 \in H$ dan $n_1 \in N$, dan
• $ b = h_2 * n_2$ untuk suatu $h_2 \in H$ dan $n_2 \in N$.    

 

Kemudian, kita harus buktikan bahwa $a * b^{-1} \in HN$.

 

Dengan menjabarkan $a$ dan $b$ sebagai produk dari $H$ dan $N$, kita akan memperoleh

$a * b^{-1} = (h_1 * n_1) * (h_2 * n_2)^{-1}$

 

Jangan lupa ya,  $(h_2 * n_2)^{-1} = n_{2}^{-1} * h_{2}^{-1}$

 

Jadi, kita peroleh
$\begin{align*} a * b^{-1} &=(h_1 * n_1) * (h_2 * n_2)^{-1} \\ &= (h_1 * n_1) * (n_{2}^{-1} * h_{2}^{-1}) \\ &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \text{(tanda kurungnya dipindah)} \end{align*}$

 

Perhatikan ya! Karena $n_1$ dan $n_{2}^{-1}$ merupakan anggota $N$, maka $n_1 * n_{2}^{-1} \in N$.

Kita sederhanakan notasinya, semisal $n_1 * n_{2}^{-1} = n'$ untuk suatu $n' \in N$.

 

Dengan demikian penjabaran $a * b^{-1}$ di atas menjadi:

$\begin{align*} a * b^{-1} &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \\ &= h_1 * {\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} \end{align*}$

 

Sekarang kita akan memanfaatkan sifat dari subgrup normal $N$.

Fokuskan perhatian pada operasi ${\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}}$.

Karena $n' \in N$ kita dapat menarik kesimpulan bahwa $n' * h_{2}^{-1} \in N h_{2}^{-1}$.

Eeeh, supaya tidak salah mengira: $N h_{2}^{-1} = \{n * h_{2}^{-1} | n \in N\}$.

Nah, karena $N$ subgrup normal, maka berlaku $N h_{2}^{-1}$ = $h_{2}^{-1} N$.

Artinya, ${\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} = {\color{green}{h_{2}^{-1} * n''}}$ untuk suatu $n'' \in N$.

Dengan demikian $a * b^{-1}$ dapat dijabarkan menjadi:

$\begin{align*} a * b^{-1} &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \\ &= h_1 * {\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} \\ &= h_1 * {\color{green}{ h_{2}^{-1} * n''}}  \\ &=  (h_1 * h_{2}^{-1}) * n'' \end{align*}$

 

Dari sini jelas ya, karena

• $h_1 * h_{2}^{-1} \in H$, dan
• $n'' \in N$

maka $(h_1 * h_{2}^{-1}) * n'' \in HN$.

Terbukti sudah bahwa $a * b^{-1} \in HN$.

 

Jadi, berlaku benar teorema:

Untuk grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ dan $N$ adalah 2 subgrup pada $G$.

Jika $N$ merupakan subgrup normal, maka $HN$ adalah subgrup pada $G$.