Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembuktian Produk Grup Subset dari Subgrup Normal

{ 5.Okt.2019 } { matematika }

Seperti yang kita tahu, suatu grup dapat memiliki bermacam subgrup. Nah, kali ini kita akan menyelidiki sifat dari dua subgrup apabila subgrup tersebut dioperasikan.

Bagaimana itu operasi antar 2 subgrup? Mari simak penjelasan di bawah. :D

 

Seperti biasa, misalkan kita punya suatu grup $G$ yang dilengkapi dengan operasi biner $*$. Kemudian, $H$ dan $K$ merupakan sebarang 2 subgrup pada $G$ $(H \leq G \text{ dan } K \leq G)$.

Kemudian lagi, kita ciptakan suatu himpunan baru yang elemennya merupakan hasil operasi dari elemen-elemen di $H$ dan $K$. Kita notasikan himpunan baru ciptaan ini sebagai $HK$ yang definisinya adalah sebagai berikut.

$HK = \{ h * k | h \in H \text{ dan } k \in K\}$

 

Nah, nah, nah, himpunan $HK$ ini kita sebut sebagai produk grup subset (product of group subsets).

Tapiii, jangan gegabah menyebut bahwa $HK$ ini adalah subgrup dari $G$ lho ya! 

 

 

Yang jelas dan pastinya, himpunan $HK$ ini jelas bukan himpunan kosong lho ya! :D

Karena dengan memilih $h = e$ dan $k = e$ kita akan memperoleh $e \in HK$.

Kemudian pula, dengan cara yang mirip, yaitu menetapkan satu elemen (entah $h$ atau $k$) sebagai elemen identitas, kita juga akan memperoleh $H \subset HK$ dan $K \subset HK$.

Jadi, sangat jelas banget bahwa $HK$ ini bukan himpunan kosong. 


 

Yang mengulik rasa penasaran berikutnya adalah bagaimanakah sebetulnya sifat $HK$ ini terhadap grup $G$.

Nah, di sini kita punya suatu teorema tentang produk grup subset yang berhubungan dengan subgrup normal.

 

Teorema

Diketahui grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ dan $N$ adalah 2 subgrup pada $G$.

Jika $N$ merupakan subgrup normal, maka $HN$ adalah subgrup pada $G$.

 

Pembuktian

Sebelumnya, yang perlu dicermati di sini adalah:

  1. $H$ adalah sebarang subgrup pada $G$. ($H$ tidak perlu subgrup normal)
  2. $N$ ditentukan jelas sebagai subgrup normal pada $G$.

 

Supaya lebih enak, kita jabarkan dulu syarat keanggotaan produk grup subset $HN$ itu seperti apa.

$HN = \{ h * n | h \in H \text{ dan } n \in N\}$

 

Kemudian, untuk membuktikan bahwa $HN$ adalah subgrup pada $G$, kita gunakan teorema terkait elemen subgrup yang ini.

Teorema (sudah terbukti)

Diketahui grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ adalah subset dari $G$.

$H$ merupakan subgrup jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $a*b^{-1} \in H$.

 

Oke, pembuktian dimulai! :)

Dengan demikian, kita ambil sebarang elemen $a,b \in HN$, maka

  • $ a = h_1 * n_1$ untuk suatu $h_1 \in H$ dan $n_1 \in N$, dan
  • $ b = h_2 * n_2$ untuk suatu $h_2 \in H$ dan $n_2 \in N$.    

 

Kemudian, kita harus buktikan bahwa $a * b^{-1} \in HN$.

 

Dengan menjabarkan $a$ dan $b$ sebagai produk dari $H$ dan $N$, kita akan memperoleh

$a * b^{-1} = (h_1 * n_1) * (h_2 * n_2)^{-1}$

 

Jangan lupa ya,  $(h_2 * n_2)^{-1} = n_{2}^{-1} * h_{2}^{-1}$

 

Jadi, kita peroleh
$\begin{align*} a * b^{-1} &=(h_1 * n_1) * (h_2 * n_2)^{-1} \\ &= (h_1 * n_1) * (n_{2}^{-1} * h_{2}^{-1}) \\ &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \text{(tanda kurungnya dipindah)} \end{align*}$

 

Perhatikan ya! Karena $n_1$ dan $n_{2}^{-1}$ merupakan anggota $N$, maka $n_1 * n_{2}^{-1} \in N$.

Kita sederhanakan notasinya, semisal $n_1 * n_{2}^{-1} = n'$ untuk suatu $n' \in N$.

 

Dengan demikian penjabaran $a * b^{-1}$ di atas menjadi:

$\begin{align*} a * b^{-1} &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \\ &= h_1 * {\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} \end{align*}$

 

Sekarang kita akan memanfaatkan sifat dari subgrup normal $N$.

Fokuskan perhatian pada operasi ${\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}}$.

Karena $n' \in N$ kita dapat menarik kesimpulan bahwa $n' * h_{2}^{-1} \in N h_{2}^{-1}$.

Eeeh, supaya tidak salah mengira: $N h_{2}^{-1} = \{n * h_{2}^{-1} | n \in N\}$.

Nah, karena $N$ subgrup normal, maka berlaku $N h_{2}^{-1}$ = $h_{2}^{-1} N$.

Artinya, ${\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} = {\color{green}{h_{2}^{-1} * n''}}$ untuk suatu $n'' \in N$.


Dengan demikian $a * b^{-1}$ dapat dijabarkan menjadi:

$\begin{align*} a * b^{-1} &= h_1 * (n_1 * n_{2}^{-1}) * h_{2}^{-1} \\ &= h_1 * {\color{blue}{n' * h_{2}^{-1}}} \\ &= h_1 * {\color{green}{ h_{2}^{-1} * n''}}  \\ &=  (h_1 * h_{2}^{-1}) * n'' \end{align*}$

 

Dari sini jelas ya, karena

  • $h_1 * h_{2}^{-1} \in H$, dan
  • $n'' \in N$

maka $(h_1 * h_{2}^{-1}) * n'' \in HN$.

Terbukti sudah bahwa $a * b^{-1} \in HN$.

 

Jadi, berlaku benar teorema:

Untuk grup $G$ yang dilengkapi operasi biner $*$, serta $H$ dan $N$ adalah 2 subgrup pada $G$.

Jika $N$ merupakan subgrup normal, maka $HN$ adalah subgrup pada $G$.