Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Epsilon-Delta #3

Pada kesempatan kali ini aku mau membahas tentang pembuktian limit fungsi bilangan real yang agak sedikit "tricky" karena melibatkan pemilihan dua nilai $\delta$.

Jadi kita punya fungsi $f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan sebagai $f(x) = 2x^2 + 3$.

Kita bakal membuktikan bahwa

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} 2x^2 + 3 = 5$

Yaitu, kalau kita punya sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat menemukan $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(1)$ berlaku $f(x) \in V_\epsilon(5)$.

Perlu diketahui bahwa

$V_\delta(1) = \{ r \in \mathbb{R} : | r - 1 | < \delta \} = \{ r \in \mathbb{R} : 1 - \delta < r < 1 + \delta \} $

$V_\epsilon(5) = \{ s \in \mathbb{R} : | s - 5 | < \epsilon \} = \{ s \in \mathbb{R} : 5 - \epsilon < s < 5 + \epsilon \} $

 

Apabila $f(x) \in V_\epsilon(5)$ maka berlaku

$| f(x) - 5 | < \epsilon$

 

Perhatikan bentuk $| f(x) - 5 |$ !

$| f(x) - 5 | = | 2x^2 + 3 - 5 | = | 2x^2 - 2 | = |2| \cdot | x^2 - 1 | = 2 \cdot | x - 1 | \cdot | x + 1 | $ (X1)

 

Selanjutnya kita misalkan $| x - 1 | < 1$. Kira-kira apa yang bakal terjadi ya?

Semisal berlaku $| x - 1 | < 1$, itu artinya $0 < x < 2$.

 

Perhatikan juga bentuk $| x + 1 |$!

$| x + 1 | = | x - 1 + 2 | \leq | x - 1 | + | 2 |$

Karena $| x - 1 | + | 2 | = | x - 1 | + 2$, maka diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2$ (X2)

 

Dari permisalan $| x - 1 | < 1$ dan (X2) diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2 < 1 + 2 = 3$

Jadi, semisal $| x - 1 | < 1$ akan berlaku $| x + 1 | < 3$.

 

Nah, perhatikan lagi (X1) yaitu $| f(x) - 5 | = 2 \cdot | x - 1 | \cdot | x + 1 |$

Dari permisalan $| x - 1 | < 1$ dan implikasi $| x + 1 | < 3$, akan berlaku

$| f(x) - 5 | = 2 \cdot | x - 1 | \cdot | x + 1 | < 2 \cdot | x - 1 | \cdot 3$

$| f(x) - 5 | < 6 \cdot | x - 1 |$

 

Hmmm...

Semisal kita pilih $\delta = \frac{\epsilon}{6}$ dan dibentuk $V_\delta(1) = V_\frac{\epsilon}{6}(1) = \{ r \in \mathbb{R} : | r - 1 | < \frac{\epsilon}{6} \}$.

Maka, untuk setiap $x \in V_\frac{\epsilon}{6}(1)$ berlaku

$| f(x) - 5 | = 2 \cdot | x - 1 | \cdot | x + 1 | < 2 \cdot | x - 1 | \cdot 3 = 2 \cdot \frac{\epsilon}{6} \cdot 3 = \epsilon$

$| f(x) - 5 | < \epsilon$

 

Jadi apakah benar dapat dipilih $\delta = \frac{\epsilon}{6}$?

Betul, tapi ingat, bila ditelusuri dari awal, pemilihan $\delta = \frac{\epsilon}{6}$ dimungkinkan karena kita terlebih dahulu memisalkan bahwa $| x - 1 | < 1$.

Artinya, kita juga bisa memilih $\delta = 1$.

Ingat, bahwa belum tentu $\frac{\epsilon}{6} = 1$!

 

Nah, ketika dihadapkan dengan kondisi di mana muncul 2 kemungkinan nilai $\delta$ yang bisa dipilih, yaitu $\delta_1 = \frac{\epsilon}{6}$ dan $\delta_2 = 1$, pilihan yang paling tepat adalah memilih nilai $\delta$ yang paling terkecil, yaitu

$\delta_{min} = min(\delta_1, \delta_2) = min(\frac{\epsilon}{6}, 1)$

Sehingga, bila dibentuk $V_{\delta_{min}}(1)$, maka untuk setiap $x \in V_{\delta_{min}}(1)$, akan berlaku

$| f(x) - 5 | < \epsilon$