Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Epsilon-Delta #1

Kali ini aku mau membahas langkah-langkah pembuktian suatu limit fungsi bilangan real menggunakan epsilon dan delta. Biasanya pembuktian semacam ini dibahas di kelas 3 SMA atau pas kuliah semester awal.

Jadi kita punya fungsi $f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan sebagai $f(x) = 2x + 7$.

Kita bakal membuktikan bahwa

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$

Yaitu, kalau kita punya sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat menemukan $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $f(x) \in V_\epsilon(13)$.

Perlu diketahui bahwa

$V_\delta(3) = \{ r \in \mathbb{R} : | r - 3 | < \delta \} = \{ r \in \mathbb{R} : 3 - \delta < r < 3 + \delta \} $

$V_\epsilon(13) = \{ s \in \mathbb{R} : | s - 13 | < \epsilon \} = \{ s \in \mathbb{R} : 13 - \epsilon < s < 13 + \epsilon \} $

 

Apabila $f(x) \in V_\epsilon(13)$ maka berlaku

$| f(x) - 13 | < \epsilon$

 

Perhatikan bentuk $| f(x) - 13 |$ !

$| f(x) - 13 | = | 2x + 7 - 13 | = | 2x - 6 | = |2| \cdot | x - 3 | = 2 \cdot | x - 3 | $

 

Kemudian, akan dipilih nilai $\delta > 0$ sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $2 \cdot | x - 3 | < \epsilon$.

 

Bila dipilih $\delta = \frac{\epsilon}{2}$, maka untuk setiap $x \in V_\frac{\epsilon}{2}(3)$ berlaku $ | x - 3 | < \frac{\epsilon}{2}$.

 

Dengan kata lain, $2 \cdot | x - 3 | < 2 \cdot \frac{\epsilon}{2}$.

Karena $2 \cdot \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$, dengan demikian berlaku $2 \cdot | x - 3 | < \epsilon$.

 

Jadi, terbukti benar bahwa $\lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$ karena untuk sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat memilih $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $f(x) \in V_\epsilon(13)$.

 

Selanjutnya kita andaikan $| x - 1 | < 1$. Kira-kira apa ya yang akan terjadi?

Semisal $| x - 1 | < 1$ maka dengan kata lain $0 < x < 2$.

Perhatikan juga bahwa,

$| x + 1 | = | x - 1 + 2 | \leq | x - 1 | + | 2 |$

Karena $| x - 1 | + | 2 | = | x - 1 | + 2$, diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2$ (pertidaksamaan A)

 

Dari permisalan $| x - 1 | < 1$ dan (pertidaksamaan A) diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2 < 1 + 2 = 3$

Dengan kata lain

$| x + 1 | < 3$