Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Epsilon-Delta #1

Kali ini aku mau membahas langkah-langkah pembuktian suatu limit fungsi bilangan real menggunakan epsilon dan delta. Biasanya, pembuktian semacam ini diajarkan di kelas 3 SMA atau pas kuliah semester awal.

 

Permasalahan

Kita punya fungsi $f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan sebagai $f(x) = 2x + 7$.

Kita akan membuktikan bahwa:

$\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$

dengan menggunakan epsilon dan delta.

 

Hal yang Harus Diketahui Sebelum Proses Pembuktian

Cara untuk membuktikan bahwa:

$\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$

dengan menggunakan epsilon dan delta adalah sebagai berikut.

 

Oh iya! Perlu diketahui juga bahwa $V_{r}(a)$ disebut sebagai persekitaran dari titik $a$ dengan jari-jari $r$, dan didefinisikan sebagai:

$V_{r}(a) = \{ x \in \mathbb{R} : | x - a | < r \} = \{ x \in \mathbb{R} : a - r < x < a + r \} $.

Jadi, menggunakan definisi persekitaran di atas, maka kita akan punya ini.

• $V_\delta(3) = \{ x \in \mathbb{R} : | x - 3 | < \delta \} = \{ x \in \mathbb{R} : 3 - \delta < x < 3 + \delta \} $, dan
• $V_\epsilon(13) = \{ x \in \mathbb{R} : | x - 13 | < \epsilon \} = \{ x \in \mathbb{R} : 13 - \epsilon < x < 13 + \epsilon \} $.

 

 

Proses Pembuktian

Oke!

 

Kita diberikan sembarang bilangan positif, yaitu $\epsilon_0$.

Entah siapa yang memberikan. Leluhur mungkin. Hahaha. :D

 

Selanjutnya, kita akan menyelidiki nilai $f(x)$ apabila berada di $V_{\epsilon_{0}}(13)$. Ini, kita asumsikan $x$ adalah sebarang bilangan real.

Nah! Jika $f(x) \in V_{\epsilon_{0}}(13)$, maka (sesuai definisi persekitaran $V_{\epsilon_{0}}(13)$ di atas) akan berlaku $| f(x) - 13 | < \epsilon_{0}$.

 

Selanjutnya, karena $f(x) = 2x + 7$, maka kita bisa menjabarkan bentuk $| f(x) - 13 |$ menjadi seperti di bawah ini.

$| f(x) - 13 | = | (2x + 7) - 13 | = | 2x - 6 | = |2| \cdot | x - 3 | = 2 \cdot | x - 3 | $

Dengan demikian, kita memperoleh persamaan $| f(x) - 13 | ~=~ 2 \cdot | x - 3 | $.

 

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai $\delta_0 > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(3)$ akan berlaku $f(x) \in V_{\epsilon_{0}}(13)$.

Karena $| f(x) - 13 | =  2 \cdot | x - 3 |$, maka pernyataan di atas ekuivalen dengan ini.

Ingat!

Pada umumnya, nilai $\delta_0$ bergantung kepada nilai $\epsilon_{0}$!

 

Naaah!

 

Kita bisa menentukan $\delta_0$ sebagai: $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{2}$. 

Dengan begitu, untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(3) = V_{\frac{\epsilon_0}{2}}(3)$ akan menyebabkan $ | x - 3 | < \displaystyle \frac{\epsilon_0}{2}$.

 

Karena $ | x - 3 | < \displaystyle \frac{\epsilon_0}{2}$, maka jika kita mengalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan $2$, akan diperoleh:

$2 \cdot | x - 3 | < \displaystyle 2 \cdot \frac{\epsilon_0}{2}$

atau dengan kata lain

$2 \cdot | x - 3 | < \displaystyle {\epsilon_0}$

 

Jadi, terbukti benar bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$

karena untuk sebarang $\epsilon_0 > 0$, maka kita dapat menentukan $\delta_0 > 0$ sebagai $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{2}$

sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(3)$ akan menyebabkan $f(x) \in V_{\epsilon_0}(13)$.

 

Catatan

Selain menentukan $\delta_0 > 0$ sebagai $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{2}$, kita juga dapat menentukan $\delta_0 > 0$ sebagai:

• $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{3}$
   
• $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{4}$
   
• $\delta_0 = \displaystyle \frac{\epsilon_0}{71}$
   
• $\delta_0 = \displaystyle \frac{\sqrt{\epsilon_0}}{1.999.501.321}$
   
• dan masih banyak lagi.

 

Misal, kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{\sqrt[5]{{\epsilon_0^2}}}{2.021}$.

Dengan demikian untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(3) = V_{ \frac{\sqrt[5]{{\epsilon_0^2}}}{2.021} }(3)$ akan berlaku $ | x - 3 | < \displaystyle \frac{\sqrt[5]{{\epsilon_0^2}}}{2.021}$.

Jelas bahwa,  $2 \cdot  | x - 3 | < \displaystyle 2 \cdot \frac{\sqrt[5]{{\epsilon_0^2}}}{2.021} < \epsilon_0$.

 

Jadi, kita bisa menyimpulkan bahwa penetapan nilai $\delta_0 > 0$ itu bisa bermacam-macam. Tak berhingga banyak jumlahnya.