Pembuktian Akar dari Bilangan Prima itu Bukan Bilangan Rasional

Ini soal klasik yang biasa dijumpai pada mata kuliah Logika Matematika dan hampir selalu membuat mahasiswa baru kebingungan. :D

Umumnya, mahasiswa baru matematika itu masih menganggap bahwa matematika di jenjang kuliah ya masih seputar hitung-menghitung angka.

Mereka para mahasiswa baru matematika itu masih belum tahu bahwa matematika di jenjang kuliah itu pada akhirnya lebih banyak berkutat dengan pembuktian, pembuktian, dan pembuktian.

Angka dan hitung-menghitung pada matematika di jenjang kuliah itu boleh dibilang hanyalah pelengkap saja. :D 

 

Ayo, tanpa berlama-lama, mari kita buktikan! :D

 

Soal

Buktikan bahwa akar dari bilangan prima itu bukanlah bilangan rasional!

 

Pembahasan

Ada tiga hal yang disinggung pada soal:

• Akar,
• Bilangan prima, dan
• Bilangan rasional.

 

Kalau akar, pastilah mahasiswa baru sudah pada tahu semua, sebagaimana $\sqrt{4} = 2$.

Kalau bilangan prima, semua juga mungkin sudah paham, yaitu $2,3,5,7,11,13,...$.

Kalau bilangan rasional, nah, mungkin banyak mahasiswa baru yang masih kurang akrab dengan istilah ini. Jadi, mari dijelaskan sebentar. :)

 

#1. Apa itu Bilangan Rasional?

Bilangan rasional itu adalah bilangan yang dapat disajikan sebagai hasil bagi 2 bilangan bulat (dengan penyebutnya tidak $0$).

Contoh bilangan rasional itu adalah $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{25}{5}$, $\displaystyle \frac{-3}{17}$, dan sebagainya.

 

Eh, perhatikan ya bahwa bilangan seperti $\displaystyle \frac{\phi}{2}$ itu bukan bilangan rasional karena konstanta $\phi = 3,14159...$ itu bukan bilangan bulat.

Yang termasuk bilangan bulat itu ya $0, 1, -1, 2, -2, ..., -1.000.000, ..., 45.123.444, ...$ dan seterusnya.

 

#2. Ini Baru Pembuktiannya.

Kita akan menggunakan metode reductio ad absurdum untuk membuktikan bahwa akar dari bilangan prima bukanlah bilangan rasional.

Dengan metode reductio ad absurdum ini, kita akan mengandaikan bahwa yang berlaku adalah kebalikan (negasi) dari pernyataan.

Dalam soal ini, dengan metode reductio ad absurdum kita akan mengandaikan bahwa akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional.

 

Apakah ada hal kontradiktif yang akan muncul ketika kita mengandaikan hal tersebut?

Mari kita cari tahu! :D

 

Mari kita andaikan, kita berandai-andai, bahwasanya akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional.

Oke?

 

Ya, kemudian kita ambil secara sebarang suatu bilangan prima, entah itu $5$, apakah itu $23$, entah itu $101$, entah itu apapun, pokoknya sebarang bilangan prima yang kita tidak tahu persis apa sebetulnya bilangan prima tersebut.

Kita notasikan bilangan prima yang kita ambil secara sebarang itu sebagai $p$.

Pokoknya, $p$ adalah bilangan prima yang nilanya mbuh apa. :p   

 

Karena kita mengandaikan bahwa akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional, maka $\sqrt{p}$ dapat dinyatakan sebagai berikut:

$\displaystyle \sqrt{p} = \frac{x}{y}$

, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat yang $\neq 0$. 

 

Kita sejenak beralih pada sifat bilangan rasional.

Ingat bahwa bilangan rasional itu memiliki relasi "kesamaan bilangan rasional" yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

Bilangan rasional $\displaystyle \frac{a}{b}$ berelasi kesamaan bilangan dengan $\displaystyle \frac{d}{c}$ jika dan hanya jika $\displaystyle a \times c = b \times d$.

 

Contoh relasi di atas adalah sebagai berikut.

Bilangan rasional $\displaystyle \frac{3}{4}$ dapat berelasi dengan $\displaystyle \frac{6}{8}$, $\displaystyle \frac{-9}{-12}$, $\displaystyle \frac{30}{40}$, dan sebagainya.

Kasarnya, $\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{-9}{12} = \frac{30}{40} = ...$.

 

Hal yang sama juga berlaku untuk $\sqrt{p}$.

Bisa jadi, selain $\displaystyle \frac{x}{y}$, $\sqrt{p}$ juga dapat dinyatakan sebagai $\displaystyle \frac{f}{g}$, atau $\displaystyle \frac{h}{i}$, atau $\displaystyle \frac{j}{k}$, atau lain sebagainya dengan tetap mengacu pada relasi kesamaan bilangan rasional:

$\displaystyle \sqrt{p} = \frac{x}{y} = \frac{f}{g} = \frac{h}{i} = \frac{j}{k} = ...$.

 

Oleh sebab beragamnya kemungkinan bilangan rasional yang dapat menjadi bentuk lain dari $\sqrt{p}$, mulai saat ini kita tentukan:

 $\displaystyle \sqrt{p} = \frac{a}{b}$

, dengan $a$, $b$ adalah bilangan bulat yang $\neq 0$ dan FPB dari $a$ dan $b$ itu $= 1$.

Yang dimaksud dengan FPB itu faktor persekutuan terbesar ya!

 

Arti dari FPB dari $a$ dan $b$ $= 1$ itu adalah bilangan yang sama-sama membagi habis $a$ dan $b$ adalah $1$.

Itu artinya, tidak ada bilangan lain yang dapat membagi habis $a$ dan $b$ selain 1.

Itu artinya, $a$ bukan kelipatan dari $b$ dan $b$ bukan kelipatan dari $a$.

Kalau mengacu kepada contoh, $\displaystyle \frac{3}{4}$ itu adalah yang FPB $a$ dan $b$ $= 1$. Sementara untuk $\displaystyle \frac{-9}{-12}$ itu FPB-nya $a$ dan $b$ $= 3$.

 

Oke.

Kita kembali pada $\displaystyle \sqrt{p} = \frac{a}{b}$.

Dari persamaan tersebut, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas: 

$\displaystyle \left(\sqrt{p}\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2$

yang hasilnya adalah:

$\displaystyle p = \frac{a^2}{b^2}$.

Selanjutnya, kita dapat mengalikan kedua ruas dengan $b^2$:

$\displaystyle p \times b^2 = \frac{a^2}{b^2} \times b^2$.

Karena $b \neq 0$, maka:

• $p \times b^2 \neq 0$, dan
• $ \frac{a^2}{b^2} \times b^2 = a^2$. (perhatikan pula bahwa $a^2$ juga $\neq 0$)

Sehingga dengan demikian:

$p \times b^2 = a^2$.

Apabila kita jabarkan:

$p \times b \times b = a \times a$.

 

Di atas tadi, karena FPB $a$ dan $b$ $= 1$, maka $a$ bukan kelipatan dari $b$ dan juga $b$ bukan kelipatan dari $a$.

Dengan demikian:

$p \times b = a$

tidak mungkin terjadi.

 

TAPI, karena kita mendapatkan persamaan:

$p \times b \times b = a \times a$

itu artinya adalah $a \times a$ adalah kelipatan dari $p$!

 

Ingat bahwa $p$ itu adalah bilangan prima.

Oleh sebab itu, jika $a \times a$ adalah kelipatan dari $p$, maka $a$ adalah kelipatan dari $p$!

Jika $a$ bukan kelipatan dari $p$, maka itu akan menyalahi ketentuan bahwa $p$ adalah bilangan prima.

 

Karena $a$ adalah kelipatan dari $p$, maka:

$a = p \times r$ untuk suatu bilangan bulat $r$.

 

Jika disubstitusikan kembali akan diperoleh:

$p \times b \times b = a \times a$

$~\iff~ p \times b \times b = (p \times r) \times (p \times r)$

$~\iff~ p \times b \times b = p \times p \times r \times r$

$~\iff~ b \times b = p \times r \times r$

 

Dari persamaan

$b \times b = p \times r \times r$

yang kita peroleh di atas, jelas menyatakan bahwa $b$ adalah kelipatan dari $p$.

Tidak mungkin $b$ kelipatan dari $r$ (dan juga sebaliknya) karena $r$ kan merupakan faktor dari $a$ dan $a$ sendiri bukan kelipatan dari $b$ (dan sebaliknya) dan juga FPB dari $a$ dan $b$ $=1$.

 

Karena $b$ adalah kelipatan dari $p$, maka:

$b = p \times s$ untuk suatu bilangan bulat $s$.

 

Jika disubstitusikan kembali akan diperoleh:

$b \times b = p \times r \times r$

$~\iff~ (p \times s) \times (p \times s) = p \times r \times r$

$~\iff~ p \times p \times s \times s = p \times r \times r$

$~\iff~ p \times s \times s = r \times r$

 

Persamaan 

$p \times s \times s = r \times r$

dapat kita nyatakan kembali sebagai

$\displaystyle \sqrt{p} = \frac{r}{s}$.

 

Nah, di sinilah muncul KONTRADIKSI.

Dari sekian panjang perhitungan di atas, kita memperoleh hasil $\displaystyle \sqrt{p} = \frac{r}{s}$.

Akan tetapi, di awal kita mengandaikan bahwa $\displaystyle \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ dengan FPB $a$ dan $b$ $=1$.

Ini sangat tidak mungkin terjadi!

Menyalahi pengandaian akan pemilihan $a$ dan $b$!

 

Dari sekian panjang pemaparan di atas, kita memperoleh fakta. 

Ternyata, jika kita mengandaikan bahwa akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional, maka pada akhirnya kita akan menjumpai pada suatu hal yang kontradiktif dari pengandaian tersebut.

Oleh sebab itu, kita tidak bisa berandai-andai bahwa akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional.

Karena kenyataan yang sesungguhnya itu adalah akar dari bilangan prima itu bukan bilangan rasional.

 

Terbukti kan? :D