Pembahasan Ujian Tengah Semester Pengantar Struktur Aljabar I di UGM Tahun Akademik 2004/2005

Soal Nomor 1

1. Diberikan himpunan $G$ tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner $\star$.
   Tuliskan definisi $(G, \star)$ sebagai grup!
    
2. Diketahui $S$ adalah himpunan bilangan real $\mathbb{R}-\{-1\}$ dan didefinisikan $\star$ pada $S$ sebagai berikut.
   $\forall x,y \in S$, $x*y \;=\; x+y+(x\cdot y)$
   Simbol "$+$" dan "$\cdot$" adalah operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real seperti biasa.
   Tunjukkan bahwa $\star$ adalah operasi biner dan $(S,\star)$ adalah grup!
    
3. Diberikan himpunan $G$ yang terdiri dari tiga elemen, yaitu $G = \{e,x,y\}$.
   Buat tabel Cayley untuk $G$ sehingga $G$ merupakan grup!
   DIBERI KETERANGAN LENGKAP!

Petunjuk:
Harus tahu definisi umum terkait grup dan tabel Cayley. Tidak sulit jika cermat memperhatikan penjelasan bapak/ibu dosen di kelas.

Soal Nomor 2

1. Tulis tiga teorema tentang subgrup!
   Buktikan SATU dari ketiga teorema terebut! (pilih sendiri.)
    
2. Perhatikan grup $\mathbb{Z}_{16}$.
   1. Tunjukkan $\mathbb{Z}_{16}$ siklik dan tulis semua elemen pembangunnya!
   2. Tulis semua subgrup proper $\mathbb{Z}_{16}$! Apakah subgrup-subgrup tersebut siklik? Apakah abelian? Berikan penjelasan!

Petunjuk:
Harus teorema umum mengenai subgrup, grup siklik, dan karakteristik $\mathbb{Z}_n$. Tidak sulit jika cermat memperhatikan penjelasan bapak/ibu dosen di kelas.

Soal Nomor 3

Diberikan grup abelian $G$ dan $H$, $K$ subgrup $G$.
Tunjukkan bahwa himpunan $\{hk ~|~ h \in H \text{ dan } k \in K \}$ adalah subgrup $G$ juga!

Petunjuk:
Harus bisa memanfaatkan teorema umum mengenai subgrup. Mungkin soal ini tidak pernah dijelaskan oleh bapak/ibu dosen di kelas. Soal ini membutuhkan ketelatenan, bukan kejelian.

Berikut adalah berkas PDF pembahasannya.

DOWNLOAD Pembahasan Ujian Tengah Semester 2004/2005 Pengantar Struktur Aljabar 1 UGM