Pembahasan Soal Ujian Teori Grup atas Perkalian Matriks #1

Halo! :D

Kali ini aku mau membahas tentang penyelesaian soal ujian teori grup yang berkaitan dengan perkalian matriks.

 

Soal

Diketahui $G = \left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \middle| a,b,c \in \mathbb{R}, ac \neq 0 \right \}$

Buktikan bahwa $G$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks!

 

Pembahasan

Pertama-tama, kita akan membuktikan dahulu bahwa operasi biner pada $G$ terdefinisi dengan baik (well-defined) dan tertutup (closed). Karena, kalau operasi binernya saja sudah "ngaco", mana mungkin himpunan $G$ bisa menjadi grup kan? :D

Untuk sifat terdefinisi dengan baik, kita perhatikan bahwa $G$ merupakan himpunan matriks bujur sangkar berukuran $2 \times 2$ atas bilangan real. Jadi, berdasarkan sifat-sifat matriks, jelas bahwa jika kita mengambil sebarang 2 elemen di $G$ maka kedua elemen tersebut bisa dioperasikan dengan perkalian matriks. Matriks bujur sangkar berukuran $2 \times 2$ atas bilangan real jika dikalikan dengan sesamanya tetap akan berwujud matriks bujur sangkar berukuran $2 \times 2$ atas bilangan real kan?

Untuk sifat tertutup, kita akan membuktikan bahwa untuk setiap elemen $x,y \in G$ maka berlaku $x \cdot y \in G$. Misalnya saja,

$x = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix}$

dan

$y = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix}$

untuk suatu $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, \text{dan} c_2 \in \mathbb{R}$

Sesuai definisi perkalian matriks, diperoleh

$x \cdot y = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a_{1}a_{2} + b_{1}0 & a_{1}b_{2} + b_{1}c_{2} \\ {0}a_{2} + c_{1}0 & {0}b_{2} + c_{1}c_{2} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a_{1}a_{2} & a_{1}b_{2} + b_{1}c_{2} \\ 0 & c_{1}c_{2} \end{pmatrix}$

Karena $G$ memiliki syarat keanggotaan $ac \neq 0$, implikasinya $(a_1a_2)(c_1c_2) \neq 0$.

Jadi, terbukti bahwa operasi biner perkalian matriks terdefinisi dengan baik dan tertutup pada $G$.