Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester dan Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis 1 (Semester Ganjil) di UGM Tahun Akademik 2021/2022
Tulisan ini aku buat dalam rangka mengisi waktu luang. Berhubung si bocil kalau makan sukanya diemut, jadi ya sambil nunggu itu rongga mulutnya kosong lagi, iseng-iseng aku ngerjain soal-soal ujian ini. Itu pun kalau pas lagi bosen nge-scrall-scroll manga online, online marketplace, Instagram, dll.
Pas zamanku kuliah (tahun 2004 silam), Pengantar Analisis 1 (dikenal akrab sebagai Pengantar Analisis Real 1 atau yang populer disingkat sebagai PAR 1) adalah mata kuliah wajib pada semester 5 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Aku sempat mengulang mata kuliah ini pada semester 9, semester terakhirku kuliah di UGM. Biasalah, memperbaiki nilai dari C menjadi A.
Nah, di bawah ini adalah soal-soal Ujian Tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) untuk mata kuliah Pengantar Analisis 1 di UGM untuk semester ganjil Tahun Akademik 2020/2021. Mbuh piye, kok pada Tahun Akademik 2020/2021, mata kuliah Pengantar Analisis 1 dilaksanakan di semester ganjil dan semester genap.
Oke deh! Mungkin ada yang penasaran, seperti apa wujudnya soal-soal ujian di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada. Ini dia!
Soal-Soal Ujian Tengah Semester Pengantar Analisis (Real) 1
- Diketahui $A$ dan $B$ adalah himpunan-himpunan bilangan real yang terbatas dan tidak kosong. Tunjukkan bahwa $A \cup B$ terbatas dan $\text{sup}(A \cup B) = \text{maks}\{\text{sup}(A), \text{sup}(B)\}$.
- Diketahui himpunan $A \subseteq \mathbb{R}$ dan tidak kosong. Didefinisikan $\bar{A} = A \cup A'$, dengan $A'$ menyatakan himpunan semua titik limit $A$.
Tunjukkan $x \in \bar{A}$ jika dan hanya jika ada barisan $(x_n)$ di $A$ yang konvergen ke $x$.
-
- Jika barisan $(x_n)$ tidak terbatas, tunjukkan ada barisan bagian $\left(x_{r_{n}}\right) \subseteq (x_n)$ sedemikian sehingga $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{x_{r_{n}}} = 0}~$!
- Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dengan $\displaystyle x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$ , untuk setiap $n \geq 1$. Tunjukkan barisan $(x_n)$ naik monoton. Apakah barisan $(x_n)$ konvergen? Jelaskan jawaban Saudara!
- Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dan untuk setiap $n \geq 1$, didefinisikan $\displaystyle y_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n}{x_k}$. Jika $(x_n)$ konvergen ke $x$, tunjukkan $(y_n)$ juga konvergen ke $x~~$!
-
- Menggunakan definisi limit fungsi, tunjukkan bahwa: $\displaystyle \lim_{x \to 2}{\frac{x^3-1}{x^2+3} = 1}~~$!
- Tunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\cos \left(\frac{1}{x^2} \right)}$ tidak ada, tetapi $\displaystyle \lim_{x \to 0}{x \cdot \cos \left(\frac{1}{x^2} \right) = 0}~~$!
- Let $f$ and $g$ be two functions defined on $(a, \infty)$ and suppose $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x) = L}$ and $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{g(x) = \infty}$. Prove that $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(f \circ g)(x) = L}~~$!
Soal-Soal Ujian Akhir Semester Pengantar Analisis (Real) 1
-
- Diberikan fungsi-fungsi $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $c \in \mathbb{R}$. Jika $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x) = \infty}$ dan $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{g(x) = L}$, tunjukkan $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(g \circ f)(x) = L}$.
- Diberikan $c \in \mathbb{R}$ dan fungsi $f : (c, \infty) \to \mathbb{R}$. Jika $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{x \cdot f(x)}$ ada, tunjukkan $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x) = 0}$.
-
- Jika fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kontinu pada $\mathbb{R}$ dan $f(x) = 0$ untuk semua bilangan rasional $x$, tunjukkan $f(x) = 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
- Diketahui fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kontinu pada $\mathbb{R}$. Jika $A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ dan $(x_n)$ barisan di dalam $A$ yang konvergen ke suatu $x \in \mathbb{R}$, tunjukkan $x \in A$.
-
- Tunjukkan $x-\cos x = 0$ mempunyai penyelesaian di dalam $[0, \frac{\pi}{2}]$
- Jika $P(x)=x^{2n-1}+a_1 x^{2n-2}+...+a_{2n-2}x+a_{2n-1}, n \in N$, tunjukkan $P(x) = 0$ mempunyai sekurang-kurang satu akar real.
-
- Jika $f: A \to \mathbb{R}$ kontinu seragam pada $A$ dan terdapat $k > 0$ sehingga $|f(x)| \geq k$ untuk setiap $x \in A$, tunjukkan $\displaystyle \frac{1}{f}$ kontinu seragam pada $A$.
- Diketahui fungsi $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ kontinu pada $[a, b]$. Jika nilai maksimum atau nilai minimum $f$ terjadi bukan di titik dalam (interior point) $[a, b]$, tunjukkan $f$ fungsi monoton pada $[a, b]$.
-
- Diberikan $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $c \in \mathbb{R}$. Jika $f'(c)$ ada dan untuk setiap $r>0$ terdapat $x \in \mathbb{N}$, $(c)-{c}$ sehingga $f(x) = f(c)$, tunjukkan $f'(c) = 0~$!
- Diketahui fungsi $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ mempunyai turunan di setiap titik $x \in [0,\infty)$. Jika $f'(x)=C$ untuk setiap $x \in [0,\infty)$ dan $a>0$, tentukan $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\{f(x+a)-f(x) \}}$
Oke! Jadi, aku mencoba mengerjakan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester mata kuliah Pengantar Analisis 1 pada semester ganjil tahun akademik 2021/2022. Apa yang aku kerjakan, aku tulis pada berkas PDF yang bisa di-download di bawah ini.
###
Semoga tulisan ini membawa manfaat. Walaupun aku yakin kalau tulisan ini lebih banyak salahnya daripada benarnya, hehehe. Maklum, kan sudah 17 tahun yang lalu jadi mahasiswa matematika. Jadi ya, mohon maaf kalau lupa-lupa ingat.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini adalah mahasiswa, aku doakan semoga Anda mendapat pencerahan dan sukses berkuliah.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini penasaran dengan soal-soal ujian kuliah matematika, aku harap Anda tidak shock dan bisa memahami tulisan ini dengan baik.
Semisal Anda yang membaca tulisan ini hanya sekadar mengisi waktu luang, aku sarankan untuk membaca tulisan ini sebagai kawan ngendog di toilet.
Udah ah.