Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Mudah Memahami Bukti Teorema Keterbatasan (Boundedness Theorem) Fungsi Kontinu

{ 4.Mei.2017 } { matematika }

Halo!

Beberapa hari yang lalu, pas sedang buru-buru mengambil buku bacaan untuk teman ritual "ngendog" yang kian mendesak :p, mbuh kenapa yang terambil kok malah fotokopian buku kuliah Introduction to Real Analysis karangan Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert yang nyempil di tumpukan komik.

Ndilalah pula, pas endog-endog mulai meluncur ke dasar jamban, yang terbuka adalah halaman bernomor 156 yang mana membahas perihal fungsi kontinu pada interval yang tertutup dan terbatas.

Akhirnya ya dilaluilah sekian belas menit yang produktif di WC dengan memahami teorema berikut.

Teorema

Let $I = [a,b]$ be a closed bounded interval and let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$.
Then $f$ is bounded on $I$.

 

Diketahui:

  • $I = [a,b]$ adalah interval yang tertutup & terbatas.
  • $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ kontinu di $I$.

 

Maka:

 

$f$ terbatas di $I$.

 

Sepintas, teorema di atas terasa "sungguh jelas sekali!" karena "$I$ kan closed and bounded, jadi pastilah $f(I)$ juga bounded" toh?    

Akan tetapi, setelah membaca pembuktian teorema tersebut, ternyataaa... pembuktiannya sungguh sangat-sangat tidak sungguh jelas sekali! :D

Hahahaha! :D

 

Pembuktian teorema di atas menyinggung buanyaaak teorema yang pada akhirnya membuat ritual ngendog di WC menjadi lebih lama dari yang dijadwalkan. :p

Tapi ya Alhamdulillah. Setelah beberapa jam kemudian (tentu setelah mengakhiri ritual ngendog :p), akhirnya aku "agak" mudeng juga dengan pembuktian teorema ini.

Jadilah dengan begitu aku tulis apa yang aku mudeng-kan tersebut di artikel ini.

 

Siapa tahu, ada pembaca yang bingung juga dengan pembuktian teorema ini, dan ndilalah nyasar ke artikel blog ini, lantas berharap menemukan pencerahan. :p

Siapa tahu juga besok-besok-besok aku lupa dan menjadi tidak mudeng lagi dengan pembuktian teorema ini. Sebab, ini kan teorema yang aku pelajari belasan tahun yang lalu sewaktu masih menyadang titel mahasiswa prodi matematika. :p

 

Pembuktian

Oke!

Kita akan coba untuk membuktikan teorema:

Let $I = [a,b]$ be a closed bounded interval and let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$.
Then $f$ is bounded on $I$.

dengan penjelasan yang (diusahakan :p) mudah, secara langkah demi langkah, sedemikian sehingga mantan mahasiswa matematika belasan tahun yang lalu seperti aku ini pun mampu memahaminya. :D

 

#Metode Pembuktian

Kita akan membuktikan teorema ini dengan metode reductio ad absurdum. Yaitu, kita akan mengandaikan negasi dari pernyataan teorema tersebut berlaku benar. Jika kemudian muncul suatu kontradiksi, maka pengandaian yang kita lakukan tersebut adalah salah, dan akibatnya teorema awal (versi asli, yang belum diandaikan) tersebut berlaku benar. 

Simpel toh? :D

 

#Langkah Pembuktian ke-1

Okeee!

Kita mulai proses reductio ad absurdum!

Kita andaikan negasi pernyataan dari teorema tersebut bernilai benar, yaitu.

Let $I = [a,b]$ be a closed bounded interval and let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$.
Then $f$ IS NOT bounded on $I$.

 

Huhuhu!

Yoi coy!

Kita mengandaikan, dengan semua yang diketahui tersebut, bahwasanya $f$ itu tidak bounded!

 

By the way....

Bounded itu apa sih?

Apa maksudnya fungsi $f$ itu bounded?

 

Oke! 

Kita gelar definisi fungsi bounded nih!

Definisi Fungsi yang Bounded

Fungsi $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ dikatakan bounded di $I$ $\iff$ terdapat $M \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga untuk semua $x \in I$ berlaku $|f(x)| \leq M$.

 

Nah, di atas itu adalah definisi fungsi $f$ bounded.

Lha kalau untuk definisi fungsi yang tidak bounded itu seperti apa?

 

Untuk mengetahui definisi fungsi $f$ yang tidak bounded ya tinggal negasikan saja Definisi #1 di atas.
Hasilnya adalah menjadi Definisi #2 di bawah ini.

Definisi Fungsi yang Tidak Bounded

Fungsi $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ dikatakan tidak bounded di $I$ $\iff$ untuk setiap $M \in \mathbb{R}$ akan terdapat suatu $x \in I$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x)| > M$.

 

Jika dua definisi di atas disajikan dalam bentuk kuantor akan menjadi seperti ini.

  • Fungsi bounded: $(\exists M \in \mathbb{R})~ (\forall x \in I = [a,b])~ |f(x)| \leq M$.
  • Fungsi tidak bounded: $(\forall M \in \mathbb{R})~ (\exists x \in I = [a,b])~ |f(x)| > M$. 

 

##Contoh

Sebagai contoh ya. Jika fungsi $f$ tidak bounded, maka untuk konstanta $M = 0,0000615$, akan terdapat suatu $x_M \in I$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x_M)| > 0,0000615$.

 

Ingat terus bahwa jika fungsi $f$ tidak bounded, maka untuk sebarang konstanta $M$ akan terdapat suatu $x \in I$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x)| > M$. Perhatikan bahwa elemen $x$ tersebut bergantung terhadap nilai $M$. Misalkan, jika $M = 0,004$, maka $x = 5,5$. Lain lagi jika, $M = 22,0008$, maka $x = 1,004$. Jadi, bolehlah dinotasikan $x$ sebagai $x_M$, yang artinya ya itu tadi, bahwa nilai $x$ itu bergantung pada nilai $M$.

 

#Langkan Pembuktian ke-2

Sejauh ini, pada Langkah Pembuktian ke-1, kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded

 

Nah, karena fungsi $f$ itu tidak bounded, maka untuk setiap $M \in \mathbb{R}$ akan terdapat suatu $x \in [a,b]$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x)| > M$.

 

Perhatikan hal-hal berikut!

  • Ingat bahwa $M$ yang dimaksud di atas itu adalah elemen bilangan real ($\mathbb{R}$).
  • Kita tahu bahwa bilangan asli ($\mathbb{N}$) adalah himpunan bagian dari bilangan real ($\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$).

 

Kesimpulan:
$M$ itu bisa berupa bilangan asli.
(contoh: $M$ itu bisa $1,2,3,4,5...$ dst.) 

 

Jadi, kita bisa bilang begini.

Karena fungsi $f$ itu tidak bounded, maka untuk setiap bilangan asli $N$ akan terdapat suatu $x \in [a,b]$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x)| > N$.

Oleh sebab itu:

  • Untuk $N = 1$, terdapat $x_1 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_1)| > 1$.
  • Untuk $N = 2$, terdapat $x_2 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_2)| > 2$.
  • Untuk $N = 3$, terdapat $x_3 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_3)| > 3$.
  • dan seterusnya.

 

Nah, dari $x_1, x_2, x_3, ..., x_n, ...$ di atas, kita dapat membentuk suatu barisan bilangan real.

Sebut saja barisan bilangan real ini sebagai $X$, yaitu $X = ( x_1, x_2, x_3, ..., x_n, ... )$.

 

#Langkah Pembuktian ke-3

Sejauh ini:

  • Pada Langkah Pembuktian ke-1, kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded
  • Pada Langkah Pembuktian ke-2, kita membuat suatu barisan bilangan real $X$ dengan sifat:
    $(\forall x_i \in X)$, $(\exists N_i \in \mathbb{N})$, $|f(x_i)| > N_i$.

 

Perhatikan bahwa:

  • $x_1 \in [a,b] \Longrightarrow a \leq x_1 \leq b$
  • $x_2 \in [a,b] \Longrightarrow a \leq x_2 \leq b$
  • $x_3 \in [a,b] \Longrightarrow a \leq x_3 \leq b$
  • dan seterusnya.

 

Kesimpulan:
Barisan $X$ terbatas (bounded) pada $[a,b]$.

Jadi:

  • Kita bisa bilang bahwa, untuk sebarang $x_i \in X$, akan berlaku $x_i \in [a, b]$.
  • Atau dengan kata lain, untuk sebarang $x_i \in X$, akan berlaku $a \leq x_i \leq b$.

 

Selanjutnya, perhatikan teorema berikut.

Teorema Bolzano-Weierstrass

Setiap barisan bilangan real yang terbatas (bounded) memiliki barisan bagian (subsequence) yang konvergen.

 

Karena barisan $X = ( x_1, x_2, x_3, ..., x_n, ... )$ terbatas pada $[a,b]$, maka menurut Teorema Bolzano-Weierstrass di atas, barisan $X$ memiliki barisan bagian yang konvergen.

Sebut barisan bagian yang konvergen ini sebagai $X'$, yaitu  $X' = ( x'_1, x'_2, x'_3, ..., x'_n, ... ) \subseteq X$, untuk sejumlah $x'_i \in X$.

Karena $X'$ konvergen, maka $X'$ memiliki limit.
Sebut limit dari $X'$ ini sebagai $\hat{x}$.

 

#Langkah Pembuktian ke-4

Sejauh ini:

  • Kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded
  • Kita membuat suatu barisan bilangan real $X$ dengan sifat:
    $(\forall x_i \in X)~ (\exists N_i \in \mathbb{N})~ |f(x_i)| > N_i$
  • Ternyata, barisan $X$ yang kita buat itu memiliki sifat-sifat ini.
    • $X$ memiliki barisan bagian (subsequence) $X'$ yang konvergen.
    • Karena $X'$ konvergen, maka $X'$ memiliki limit. Sebut limit ini sebagai $\hat{x}$. 

 

Ayo ingat lagi!
Pada Langkah Pembuktian ke-3, kita memiliki sifat berikut.

Untuk sebarang $x_i \in X$, akan berlaku $a \leq x_i \leq b$.

Karena $X'$ merupakan barisan bagian dari $X$, maka:

Untuk sebarang $x'_i \in X'$, akan berlaku $a \leq x'_i \leq b$.

Jadi, kita bisa menyimpulkan bahwa barisan bagian $X'$ itu bounded pada $[a,b]$.
Karena $[a,b]$ adalah suatu interval yang tertutup, maka kita bisa menyimpulkan bahwa $X'$ berada pada suatu interval yang tertutup.

 

Selanjutnya, perhatikan teorema berikut.

Teorema Limit Barisan pada Interval Tertutup

Jika:

  • $W$ merupakan barisan bilangan real yang konvergen, dan
  • elemen-elemen $W$ berada di dalam suatu interval tertutup (closed),

Maka:

Limit dari $W$ juga berada di dalam interval tertutup tersebut.

 

Dengan demikian, karena:

  • Barisan bagian $X'$ berada pada $[a,b]$ yang mana merupakan suatu interval yang tertutup.
  • Barisan bagian $X'$ konvergen (dengan limitnya adalah $\hat{x}$).

Maka, menggunakan Teorema Limit Barisan pada Interval Tertutup di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa: 

$\hat{x} \in [a,b]$

Penjelasan panjangnya adalah seperti berikut.

Barisan bilangan real $X$ yang berada di interval $[a,b]$ memiliki barisan bagian $X'$ yang konvergen, dengan limit $X'$ juga berada di interval $[a,b]$ tersebut.  

 

#Langkah Pembuktian ke-5

Sejauh ini:

  • Kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded
  • Kita membuat suatu barisan bilangan real $X$ dengan sifat:
    $(\forall x_i \in X)~ (\exists N_i \in \mathbb{N})~ |f(x_i)| > N_i$
  • Ternyata, barisan $X$ yang kita buat itu memiliki sifat-sifat ini.
    • $X$ memiliki barisan bagian (subsequence) $X'$ yang konvergen.
    • Karena $X'$ konvergen, maka $X'$ memiliki limit. Sebut limit ini sebagai $\hat{x}$. 
    • $\hat{x}$ berada di interval $[a,b]$.

 

Pada Langkah Pembuktian ke-5 ini, kita sejenak kembali ke fungsi $f$.
Silakan scroll ke atas lagi, untuk melihat definisi fungsi $f$ pada teorema utama yang sedang kita buktikan ini. :)  

Nah.

Kita tahu bahwa fungsi $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ itu kontinu di $I$. 
Interval $I$ sendiri tidak lain adalah interval $[a,b]$.

Nah.

Karena $\hat{x}$ berada di $[a,b]$, itu artinya $f$ juga kontinu di $\hat{x}$.

Kemudian, karena $f$ kontinu di $\hat{x}$, maka kita dapat menyimpulkan hal-hal berikut.

  • $f(\hat{x})$ eksis.
  • $\displaystyle \lim_{x \to \hat{x}}{f(x)}$ eksis.
  • $\displaystyle \lim_{x \to \hat{x}}{f(x)} = f(\hat{x})$

 

#Langkah Pembuktian ke-6

Sejauh ini:

  • Kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded
  • Kita membuat suatu barisan bilangan real $X$ dengan sifat:
    $(\forall x_i \in X)~ (\exists N_i \in \mathbb{N})~ |f(x_i)| > N_i$
  • Ternyata, barisan $X$ yang kita buat itu memiliki sifat-sifat ini.
    • $X$ memiliki barisan bagian (subsequence) $X'$ yang konvergen.
    • Karena $X'$ konvergen, maka $X'$ memiliki limit. Sebut limit ini sebagai $\hat{x}$. 
    • $\hat{x}$ berada di interval $[a,b]$.
  • Fungsi $f$ kontinu di $\hat{x}$.

Pada Langkah Pembuktian ke-6 ini kita beralih sejenak ke barisan bagian $X'$.

Menggunakan barisan bagian $X' = ( x'_1, x'_2, x'_3, ..., x'_n, ... )$, kita dapat membuat barisan bilangan real $F$ yang didefinisikan sebagai berikut. 

$F = ( f(x'_1), f(x'_2), f(x'_3), ..., f(x'_n), ... )$

 

Selanjutnya, perhatikan teorema berikut.

Teorema Sequential Criterion for the Continuity of Function

Diketahui:

  • Himpunan $A \subseteq \mathbb{R}$. 
  • Fungsi $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. 
  • Fungsi $f$ kontinu di $c$.
     
  • Barisan bilangan real $(x_n) = (x_1, x_2, x_3, ...)$ berada di $A$.
  • Barisan bilangan real $(x_n)$ konvergen ke $c$.
  • Barisan bilangan real $(x_n)$ bukan merupakan barisan konstan $(c,c,c,c,...)$.


Maka:

 

Barisan bilangan real $( f(x_n) ) = (f(x_1), f(x_2), f(x_3),...)$ konvergen ke $f(c)$.

 

Perhatikan bahwa kita memiliki sejumlah hal berikut.

  • Interval $I = [a,b] \subseteq \mathbb{R}$.
  • Fungsi $f: I \rightarrow \mathbb{R}$.
  • Fungsi $f$ kontinu di $\hat{x}$.
     
  • Barisan $X' = ( x'_1, x'_2, x'_3, ..., x'_n, ... )$ berada di $[a,b]$.
  • Barisan $X'$ konvergen ke $\hat{x}$.
  • Sesuai metode pembuatan barisan $X$ pada Langkah Pembuktian ke-2, maka barisan $X'$ bukan merupakan barisan konstan.

 

Jadi, menggunakan Teorema Sequential Criterion for the Continuity of Function di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:

Barisan $F = ( f(x'_1), f(x'_2), f(x'_3), ..., f(x'_n), ... )$ konvergen ke $f(\hat{x})$.

 

#Langkah Pembuktian ke-7

Sejauh ini:

  • Kita mengandaikan bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded
  • Kita membuat suatu barisan bilangan real $X$ dengan sifat:
    $(\forall x_i \in X)~ (\exists N_i \in \mathbb{N})~ |f(x_i)| > N_i$
  • Ternyata, barisan $X$ yang kita buat itu memiliki sifat-sifat ini.
    • $X$ memiliki barisan bagian (subsequence) $X'$ yang konvergen.
    • Karena $X'$ konvergen, maka $X'$ memiliki limit. Sebut limit ini sebagai $\hat{x}$. 
    • $\hat{x}$ berada di interval $[a,b]$.
  • Fungsi $f$ kontinu di $\hat{x}$.
  • Barisan $( f(x'_1), f(x'_2), f(x'_3), ..., f(x'_n), ... )$ konvergen ke $f(\hat{x})$.

 

Selanjutnya, perhatikan teorema berikut.

Teorema Barisan Konvergen itu Bounded

Setiap barisan bilangan real yang konvergen merupakan barisan yang terbatas (bounded).

 

Artinya:
Karena barisan $F = ( f(x'_1), f(x'_2), f(x'_3), ..., f(x'_n), ... )$ konvergen, maka barisan tersebut terbatas (bounded).

Artinya:
Terdapat $M \in \mathbb{R}$, sedemikian sehingga untuk setiap $f(x'_i) \in F$ berlaku $|f(x'_i)| \leq M$.

 

#Muncul Kontradiksi!

Kontradiksi?

 

Kenapa kok bisa muncul kontradiksi?

 

Yuk, kita tengok sebentar ke bagian akhir Langkah Pembuktian ke-7!

Pada bagian akhir Langkah Pembuktian ke-7 kita tahu bahwa terdapat $M \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga untuk setiap $f(x'_i) \in F$ berlaku $|f(x'_i)| \leq M$. 

Itu artinya:

  • $|x'_1| \leq M$
  • $|x'_2| \leq M$.
  • $|x'_3| \leq M$.
  • dan seterusnya.

 

Jangan lupa bahwa $x'_1, x'_2, x'_3, ..., x'_n, ... \in X'$ itu juga merupakan elemen $X$!
Artinya:

  • $x'_1 = x_{k_1}$, untuk suatu $k_1 \in \mathbb{N}$.
  • $x'_2 = x_{k_2}$, untuk suatu $k_2 \in \mathbb{N}$.
  • $x'_3 = x_{k_3}$, untuk suatu $k_3 \in \mathbb{N}$.
  • dan seterusnya.

 

##Catatan

Agar membayangkannya lebih mudah, misalkan saja:

  • $x'_1 = x_{15}$, sehingga dengan demikian $k_1 = 15$.
  • $x'_2 = x_{33}$, sehingga dengan demikian $k_2 = 33$.
  • $x'_3 = x_{71}$, sehingga dengan demikian $k_3 = 71$.

 

 

Kemudian ingat, pada Langkah Pembuktian ke-2, kita punya pernyataan berikut.

Karena fungsi $f$ itu tidak bounded, maka untuk setiap bilangan asli $N$ akan terdapat suatu $x \in [a,b]$ sedemikian sehingga berlaku $|f(x)| > N$.

Oleh sebab itu:

  • Untuk $N = 1$, terdapat $x_1 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_1)| > 1$.
  • Untuk $N = 2$, terdapat $x_2 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_2)| > 2$.
  • Untuk $N = 3$, terdapat $x_3 \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x_3)| > 3$.
  • dan seterusnya.

 

Berdasarkan pernyataan di dalam teks boks biru di atas itu, maka:

  • Untuk $N = k_1$, terdapat $x'_1 = x_{k_{1}} \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x'_{1})| = |f(x'_{k_{1}})| > k_1$.
  • Untuk $N = k_2$, terdapat $x'_2 = x_{k_{2}} \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x'_{2})| = |f(x'_{k_{2}})| > k_2$.
  • Untuk $N = k_3$, terdapat $x'_3 = x_{k_{3}} \in [a,b]$, sedemikian sehingga berlaku $|f(x'_{3})| = |f(x'_{k_{3}})| > k_3$.

 

Nah, misalkan untuk $f(x'_1)$.

Di satu sisi, terdapat $M \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $|f(x'_1)| \leq M$.
Ini menyatakan bahwa $f(x'_1)$ itu bounded.

Di sisi yang lain, terdapat $k_1 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $|f(x'_{1})| > k_1$.
Ini menyatakan bahwa $f(x'_1)$ itu tidak bounded

Ini kan nggak mungkin terjadi!

Mana bisa $f(x'_1)$ bounded dan tidak bounded secara bersamaan!

Nah, itu pula baru untuk $f(x'_1)$.
Untuk $f(x'_2), f(x'_3), f(x'_4)$, dan seterusnya ya sama.

 

#Kesimpulan

Pengandaian bahwa fungsi $f$ itu tidak bounded akan menimbulkan kontradiksi!

Jadi, pernyataan yang benar adalah ketika fungsi $f$ itu bounded

Jadi, teorema berikut terbukti benar.

Teorema

Let $I = [a,b]$ be a closed bounded interval and let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$.
Then $f$ is bounded on $I$.

Diketahui $I = [a,b]$ adalah interval yang tertutup dan terbatas dan $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ kontinu di $I$.
Maka $f$ terbatas di $I$.