Pembuktian Limit Fungsi Rasional Menggunakan Epsilon-Delta #1

Huaaa... lama banget nggak nulis di sini! Hahaha.

 

Oke deh! Pada kesempatan kali ini aku mau membahas tentang pembuktian limit fungsi rasional bilangan real menggunakan cara "klasik" yang melibatkan epsilon dan delta. Para mahasiswa yang belajar Kalkulus mungkin sudah tidak asing dengan pembuktian ini.

 

Eh iya, buat yang belum tahu, fungsi rasional bilangan real itu adalah fungsi yang bentuknya $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ dengan $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial yang koefisien-koefisennya bilangan real dan derajat $P(x)$ lebih kecil dari derajat $Q(x)$. 

 

Buat yang masih bingung, contoh fungsi rasional bilangan real itu adalah semacam $\displaystyle \frac{4}{x^2-3}$, $\displaystyle \frac{x^2 + 1}{5x^3+x+1}$, dan lain-lain.

 

Soal

Buktikan $\displaystyle \lim_{x \to 2}~ \displaystyle \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3}$ dengan menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$!

 

Hal yang Harus Diketahui Sebelum Proses Pembuktian

Cara untuk membuktikan bahwa:

$\displaystyle \lim_{x \to 2}~ \displaystyle \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3}$

dengan menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$ adalah sebagai berikut.

 

Oh iya! Perlu diketahui juga bahwa:

$V_\delta(2) = \{ r \in \mathbb{R} : | r - 2 | < \delta \} = \{ r \in \mathbb{R} : 2 - \delta < r < 2 + \delta \} $, dan

$V_\epsilon(2/3) = \{ s \in \mathbb{R} : | s - 2/3 | < \epsilon \} = \{ s \in \mathbb{R} : 2/3 - \epsilon < s < 2/3 + \epsilon \} $.

 

Secara umum, $V_r(c)$ disebut sebagai persekitaran dari titik $c$ dengan jari-jari $r$ dan didefinisikan sebagai:

$V_r(c) ~=~ \{ x \in \mathbb{R} : | x - c | < r \} ~=~ \{ x \in \mathbb{R} : (c - r) < x < (c + r) \} $.

 

 

Proses Pembuktian

#Langkah Pembuktian ke-1

Pertama-tama, kita sebut $\displaystyle \frac{2}{x+1} $ sebagai fungsi $f$ atas peubah $x$ ya!
Dengan begitu kita akan punya persamaan ini.

$\displaystyle f(x) = \frac{2}{x+1} $

Jadi, membuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2}~ \displaystyle \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3}$ itu ekuivalen dengan membuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2}~ f(x) = \frac{2}{3} $.  

 

Paham toh? :D

 

#Langkah Pembuktian ke-2

Oke, next!

 

Kita diberikan sebarang bilangan positif, yaitu $\epsilon_0$.

Entah siapa yang memberikan. Leluhur mungkin. Hahaha. :D

Nilai pastinya $\epsilon_0$ juga kita tidak tahu. Yang jelas, $\epsilon_0$ itu positif ($\epsilon_0 > 0$).
Bisa jadi, $\epsilon_0 = 1$, atau $\epsilon_0 = \sqrt[4]{e}$, atau $\epsilon_0 = 6,7 \times 10^{-78}$, dan lain-lain. 

 

Eeee... umumnya nilai $\epsilon_0$ itu keciiiiiiiiiil sekali. Tapi ya nggak menutup kemungkinan bahwa nilai $\epsilon_0$ itu sangat besar seperti $1.000.000.000$. Yang jelas, $\epsilon_0$ itu bilangan real positif.

 

Selanjutnya, kita akan menyelidiki bentuk $| f(x) - 2/3 |$.

Karena $f(x) = \displaystyle \frac{2}{x+1}$, maka kita bisa menjabarkan bentuk $| f(x) - 2/3 |$ menjadi seperti di bawah ini.

$\begin{split}| f(x) - 2/3 | &= \left| \displaystyle \frac{2}{x+1} - \frac{2}{3} \right| \\ &= \left| \displaystyle \frac{6 - 2(x+1)}{3(x+1)} \right| \\&= \left| \displaystyle \frac{2(2 - x)}{3(x+1)} \right| \\&= \frac{2}{3} \cdot \displaystyle \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} \end{split}$

 

Jadi, kita akan memperoleh persamaan berikut.

$\displaystyle |f(x) - 2/3 | ~=~ \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} $

 

Perhatian! 

Untuk selanjutnya kita akan lebih sering menggunakan bentuk $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|}$ untuk menyebut $|f(x) - 2/3 |$.

 

#Langkah Pembuktian ke-3

Selanjutnya....

Hmmm....

 

Oke deh, kita coba-coba menetapkan $\displaystyle \delta_0 = \frac{1}{13}$.

 

Eh!

 

Pasti kemudian kalian bakal bertanya-tanya.

 

Kenapa tiba-tiba mencoba menetapkan $\displaystyle \delta_0 = \frac{1}{13}$?

 

Yaaa... soalnya $13$ itu "katanya" adalah angka sial. Hahaha. :D

 

Nggak deh!

 

Sebetulnya, aku mencari nilai $\delta_0$ sedemikian sehingga $2 - \delta_0$ dan $2 + \delta_0$ itu tetap merupakan bilangan real positif dan "jarak" keduanya dengan $2$ itu bisa dibilang "lumayan dekat". 

 

Dengan demikian, bisa juga ditetapkan $\displaystyle \delta_0 = \frac{1}{2}$, atau $\displaystyle \frac{1}{5}$, atau $\displaystyle \frac{1}{10}$, atau $\displaystyle \frac{1}{100.000}$, atau $\displaystyle \frac{7}{5.000.000.000.000}$, atau lain sebagainya.

 

---

 

Oke! Fokus lagi yuk kita! :)

 

Jika $\displaystyle \delta_0 = \frac{1}{13}$, maka $\displaystyle 2 - \delta_0 = \frac{25}{13}$ dan $\displaystyle 2 + \delta_0 = \frac{27}{13}$.

Dengan demikian, jika $x$ adalah suatu bilangan real yang termuat di $V_{\delta_0}(2)$, maka $x$ adalah bilangan real positif yang memenuhi pertidaksamaan $\displaystyle \frac{25}{13} < x < \frac{27}{13}$.

Ya kan?

 

hmmm.... (gimana kalau setiap ruas kita tambah dengan $1$....)

atau dengan kata lain, $x$ memenuhi pertidaksamaan $\displaystyle \frac{38}{13} < x + 1 < \frac{40}{13}$

 

hmmm....

atau dengan kata lain, $x$ memenuhi pertidaksamaan $\displaystyle \frac{13}{40} < \frac{1}{x + 1} < \frac{13}{38}$

 

Ingat! $x$ itu bilangan real positif!

 

oh!

atau dengan kata lain $x$ memenuhi pertidaksamaan $\displaystyle \frac{13}{40} < \frac{1}{|x + 1|} < \frac{13}{38}$.

 

Ya nggak?

 

Nah!

Jadi, pada Langkah Pembuktian ke-3 ini, kita memperoleh hasil berikut.

 

 

 

#Langkah Pembuktian ke-4

Oke!

Setelah kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$, sekarang kita akan lihat bagaimana efeknya terhadap bentuk $\displaystyle |f(x) - 2/3 |$ yang sudah kita otak-atik di Langkah Pembuktian ke-2.

 

Ingat!

Kita punya persamaan $\displaystyle |f(x) - 2/3 | ~=~ \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|}  ~=~ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{|x+1|} \cdot \left| x - 2 \right|$

 

Nah, berdasarkan Hasil Akhir Langkah Pembuktian ke-3 sebagaimana yang ada di dalam kotak biru di atas, untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(2)$ akan memenuhi pertidaksamaan:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} ~~<~~ \frac{2}{3} \cdot \frac{13}{38} \cdot \left| x - 2 \right|$

 

Ya nggak?

 

Eh, jika semua koefisien di ruas kanannya dikalikan, pertidaksamaan di atas itu akan ekuivalen dengan ini:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} ~~<~~ \frac{13}{57} \cdot \left| x - 2 \right|$

 

Eh, perhatikan!

 

Jika kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$, maka untuk setiap $x \in V_{\delta_0}(2)$ akan berakibat $\displaystyle |x - 2| < \frac{1}{13}$.

Dengan kata lain akan berlaku pertidaksamaan:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{13}{57} \cdot \frac{1}{13}$

 

yang ekuivalen dengan:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{1}{57}$

 

#Langkah Pembuktian ke-5

Eiiits! Jangan lupa!

 

Di awal Langkah Pembuktian ke-2 kan kita diberikan suatu sebarang bilangan real positif $\epsilon_0$.

 

Nah, inginnya kita kan untuk sebarang $\epsilon_0$ yang diberikan, kita dapat selalu menemukan $\delta_0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta_{0}}(2)$ akan berlaku $f(x) \in V_{\epsilon_{0}}(2/3)$.

 

.... atau dengan kata lain ...

 

Inginnya kita kan untuk sebarang $\epsilon_0$ yang diberikan, kita dapat selalu menemukan $\delta_0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta_{0}}(2)$ akan berlaku $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \epsilon_0$.

 

 

Nah, pada Langkah Pembuktian ke-4 kan kita sudah memperoleh sifat bahwa jika kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$, maka akan berlaku pertidaksamaan $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{1}{57}$.

 

Semisal $\epsilon_0$ yang diberikan itu nilainya besar seperti $\epsilon_0 = 1.000.000$, maka kita dengan gampang dapat menetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$ sedemikian sehingga akan berlaku pertidaksamaan:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{1}{57} < \underbrace{1.000.000}_{\text{ini } \epsilon_0}$

 

Lebih tepatnya, kita bisa menyimpulkan ini.

 

 

Lalu... gimana kalau $\epsilon_0$ yang diberikan itu nilainya $\displaystyle \leq \frac{1}{57}$?

Misalnya $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{5.000}$?

 

Oke!

Ayo balik ke pertidaksamaan  $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{13}{57} \cdot \left| x - 2 \right|$ yang muncul di Langkah Pembuktian ke-4.

 

Perhatikan bahwa, jika kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$, maka pertidaksamaan $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{13}{57} \cdot \left| x - 2 \right|$ akan berlaku.

 

Tapi, coba perhatikan baik-baik.

 

Jika kita tetapkan $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{14}$, atau $\displaystyle \frac{1}{89}$, atau $\displaystyle \frac{1}{1.000.000}$, maka pertidaksamaan $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{13}{57} \cdot \left| x - 2 \right|$ tetap akan berlaku.

 

Lho, kok bisa begitu?

 

Ingat! $\delta_0$ adalah jari-jari persekitaran. Jika titik pusat persekitaran sama, maka persekitaran dengan jari-jari yang kecil akan termuat di persekitaran dengan jari-jari yang besar!

Kalau susah dimengerti, bayangkan saja persekitaran itu sebagai lingkaran. Jika koordinat titik pusat lingkaran tidak kita ubah, kan lingkaran dengan jari-jari kecil akan termuat di dalam lingkaran dengan jari-jari yang besar toh?

 

Nah, jika suatu sifat berlaku di dalam persekitaran yang besar, tentu sifat tersebut juga akan berlaku di dalam persekitaran-persekitaran kecil yang termuat di dalam persekitaran besar tersebut.

Iya nggak?

 

---

 

Nah, oleh sebab itu, selain $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$, kita akan menetapkan satu lagi alternatif nilai $\delta_i$.

Yaaah, sebut saja $\delta_i$ alternatif ini sebagai $\delta_1$, yang didefinisikan sebagai $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{13} \cdot \epsilon_0$. 

 

Dengan demikian, kita punya 2 pilihan $\delta_i$, yaitu $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$ dan $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{13} \cdot \epsilon_0$.

Nilai $\delta_0$ konstan, tidak bergantung pada nilai $\epsilon_0$ yang diberikan secara sebarang.

Sedangkan nilai $\delta_1$, bergantung pada nilai $\epsilon_0$ yang diberikan secara sebarang.

 

 

Oke!

Balik ke kasus ketika $\epsilon_0$ yang diberikan itu nilainya $\displaystyle \leq \frac{1}{57}$. Misalnya $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{5.000}$ itu.

 

Nah, jika kita substitusikan $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{5.000}$ ke dalam $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{13} \cdot \epsilon_0$, akan diperoleh ini.

$\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{13} \cdot \epsilon_0 = \frac{57}{65.000}$

 

Naaaah....

Antara $\delta_0 = \displaystyle \frac{1}{13}$ dengan $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{65.000}$ lebih kecil mana hayooo?

Ya jelas lebih kecil $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{65.000}$ kan?

 

Dengan demikian, jika titik pusatnya $= 2$, maka persekitaran dengan jari-jari $\delta_1$ akan termuat di dalam persekitaran dengan jari-jari $\delta_0$.

Ya kan?

 

Kalau dalam notasi matematika ya berlaku $V_{57/65.000}(2) \subset V_{1/13}(2) ~~\iff~~ V_{\delta_1}(2) \subset V_{\delta_0}(2)$.

 

Dengan kata lain, sifat yang berlaku di $V_{\delta_0}(2)$ juga akan berlaku di $V_{\delta_1}(2)$.

Dengan kata lain, pertidaksamaan $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} < \frac{13}{57} \cdot \left| x - 2 \right|$ tetap akan berlaku untuk setiap $x \in V_{\delta_1}(2)$.

 

Jadi, ketika $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{5.000}$, maka kita dapat memilih $\delta_1 = \displaystyle \frac{57}{65.000}$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta_1}(2)$ akan berakibat $|x - 2| < \displaystyle \frac{57}{65.000}$ sedemikian sehingga berlaku pertidaksamaan:

 $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{\left| x - 2 \right|}{|x+1|} ~~<~~ \frac{13}{57} \cdot \frac{57}{65.000} = \underbrace{\frac{1}{5.000}}_{\text{ini } \epsilon_0}$

Oke!

Mari kita simpulkan saudara-saudara!

 

 

Lha, kalau $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{57}$ gimana?

Ya jelas dong! Kalau $\epsilon_0 = \displaystyle \frac{1}{57}$ kan yang bakal terjadi adalah $\delta_0 = \delta_1$.

Coba saja kalau nggak percaya.

 

Kesimpulan

Dari penjelasan panjang (fiuh!) di atas, jika kita diberikan sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat menggolongkan nilai $\epsilon$ tersebut ke dalam 3 kemungkinan sebagai berikut.

• Nilai $\epsilon$ lebih besar dari $\displaystyle \frac{1}{57}$ ($\epsilon > \displaystyle \frac{1}{57}$).
• Nilai $\epsilon = \displaystyle \frac{1}{57}$.
• Nilai $\epsilon$ berada di antara $0$ dan $\displaystyle \frac{1}{57}$ ($0 < \epsilon < \displaystyle \frac{1}{57}$).

 

Nah, untuk membuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2}~ \displaystyle \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3}$, maka berdasarkan nilai $\epsilon > 0$ yang diberikan, kita dapat menetapkan nilai $\delta$ sebagai berikut.

• Untuk nilai $\epsilon$ lebih besar dari $\displaystyle \frac{1}{57}$ ($\epsilon > \displaystyle \frac{1}{57}$), kita dapat menetapkan $\delta = \displaystyle \frac{1}{13}$.
• Untuk nilai $\epsilon = \displaystyle \frac{1}{57}$, kita dapat menetapkan $\delta = \displaystyle \frac{1}{57}$.
• Untuk nilai $\epsilon$ berada di antara $0$ dan $\displaystyle \frac{1}{57}$ ($0 < \epsilon < \displaystyle \frac{1}{57}$), kita dapat menetapkan $\delta = \displaystyle \frac{57 \cdot \epsilon}{13}$.

 

Sedemikian sehingga, untuk setiap $x$ yang memenuhi $|x - 2| < \delta$, akan menyebabkan $|f(x) - 2/3| < \epsilon$.

Jadi, terbukti benar bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2}~ \displaystyle \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3}$ menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$.

 

Lebih Lanjut

Jika kita diberikan sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat menetapkan nilai $\delta$ sebagai yang terkecil di antara $\displaystyle \frac{1}{13}$ dan $\displaystyle \frac{57 \cdot \epsilon}{13}$ ($\delta = \text{min}(\frac{1}{13}, \frac{57 \cdot \epsilon}{13})~~$).

 

Kenapa bisa begitu?

 

Sebagaimana yang sudah dijelaskan di atas. Untuk sebarang bilangan real positif $a$ dan $b$ yang memenuhi kondisi $a > b > 0$ akan menyebabkan $|x - 2| < b < a$, yang ekuivalen dengan menyatakan bahwa $V_{b}(2) \subset V_{a}(2)$.

 

Tidak Tunggal

Seperti yang sudah dijelaskan di atas. Pada Langkah Pembuktian ke-3, kita juga bisa menetapkan nilai $\delta_0$ selain $\displaystyle \frac{1}{13}$ lho!

 

Sebetulnya, aku nilai $\delta_0$ itu dipilih saja yang sekecil mungkin tapi tetap nyaman untuk dihitung, sedemikian sehingga $2 - \delta_0$ dan $2 + \delta_0$ itu tetap merupakan bilangan real positif dan "jarak" keduanya dengan $2$ itu bisa dibilang "lumayan dekat". 

 

Kalau mau, bisa juga ditetapkan $\displaystyle \delta_0 = \frac{1}{2}$, atau $\displaystyle \frac{1}{5}$, atau $\displaystyle \frac{1}{10}$, atau $\displaystyle \frac{1}{100.000}$, atau $\displaystyle \frac{7}{5.000.000.000.000}$, atau lain sebagainya.

 

Nah, karena penetapan nilai $\delta_0$ bisa berbeda-beda, akibatnya alternatif $\delta_1$ juga bisa berbeda-beda pula.

 

Sulit Dipahami?

Amat sangat wajar kok kalau pembuktian limit menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$ ini susah sekali dipahami bagi para mahasiswa yang baru belajar Kalkulus. :D

Soalnya, aku dulu juga begitu. Hahaha. :D

 

Saranku sih, kalau mau cepat paham ya harus belajar lebih sering. Minimal dalam sehari mengerjakan 100 soal pembuktian limit fungsi begitu. Semoga dalam satu bulan sudah mahir (walau nantinya jadi stress). :p

 

Tenang saja.

Buat mahasiswa yang baru belajar Kalkulus, nggak dosa kok perkara nggak paham pembuktian limit menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$. Ya itu, kalau sering dibaca-baca dan dikerjakan sekaligus dicoba memahami, lama-lama ya paham juga kok.

Umum itu Kalkulus dapat nilai akhir C di semester 1. Tapi, kalau mengulang Kalkulus saat semester 9 dan dapat nilai akhir C, nah itu baru kebangetan. Hahaha. :D

Lha itu.

Belum tentu yang dulu Kalkulus-nya dapat nilai akhir A, bakal dapat nilai akhir A lagi saat diulang di kemudian hari.

Belum tentu pula yang dulu Kalkulus-nya dapat nilai akhir C, bakal dapat nilai akhir C lagi saat diulang di kemudian hari. Bisa jadi, jeblok jadi E karena sudah lupa sama mata kuliah semester awal kuliah. Hahaha. :D

 

Yah, semoga tulisan ini sedikit membantu untuk memahami pembuktian limit menggunakan $\epsilon$ dan $\delta$ bagi yang kesusahan dan kebingungan.

Kalau aku tidak bosan, semoga ada part dua-nya. Hehehe. :p 

 

Dadaaaah!