Kerjakan Limit Tanpa LHospital: Bilangan Euler di Dalam Logaritma Alami

Yah, namanya juga soal ujian.

Masalah yang bisa diselesaikan dengan mudah jadi dibuat susah. :p

Sudah tahu soal limit-nya bisa diselesaikan dengan mudah dengan memakai aturan L'Hospital. Eeeh, tapi kok malah dilarang menggunakan aturan L'Hospital? Piye toh karep e? :p

Karep e ya berusah-susah ke hulu, berenang-renang ke tepian, hahaha. :D

 

Oke, tanpa banyak ngoceh, kali ini kita akan mencoba untuk menyelesaikan soal limit berikut.

Soal

Didefinisikan relasi $\mathcal{R}$ pada himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$. Tunjukkan bahwa relasi $\mathcal{R}$ didefinisikan sebagai berikut:

$a \mathcal{R} b \iff (a-3)^2 + 2b = (b-3)^2 + 2a$

untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}$ merupakan relasi ekuivalensi pada $\mathbb{Z}$ dan tentukan partisi $\mathcal{P}$ pada $\mathbb{Z}$ yang terbentuk oleh relasi ekuivalensi $\mathcal{R}$ tersebut!

 

Pembahasan

endus... endus... endus...

Ini bau-baunya $\ln{(2xe^{20x} + e^{20x})}$ bisa kita faktorkan. Coba ya! 

$\begin{split} \ln{(2xe^{20x} + e^{20x})} &= \ln{(~(2x + 1)~ e^{20x})} ~~\color{purple}{\small{\text{#1}}} \\ &= \ln{(2x + 1)} + ~ \ln{e^{20x}} ~~\color{purple}{\small{\text{#2}}} \\ &= \ln{(2x + 1)} + ~ 20 \ln{e^{x}} ~~\color{purple}{\small{\text{#3}}} \\ \end{split}$

Catatan:
#1 = Hukum distributif
#2 = Sifat logaritma
#3 = Sifat logaritma

Pemfaktoran selesai sampai di sini.

Jadi, kita akan memperoleh:

$\ln{(2xe^{20x} + e^{20x})} = \ln{(2x + 1)} + ~ 20 \ln{e^{x}}$

 

Kita kembali ke soal limit dan mensubtitusikan persamaan yang kita peroleh di atas itu.

$ \begin{split} \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2xe^{20x} + e^{20x})}}{x}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2x + 1)} + ~ 20 \ln{e^{x}}}{x}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}{\left( \frac{\ln{(2x + 1)}}{x} + \frac{20\ln{e^x}}{x} \right)} \\ \end{split}$

 

Menggunakan sifat limit, kita akan memperoleh ini.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}{\left( \frac{\ln{(2x + 1)}}{x} + \frac{20\ln{e^x}}{x} \right)} = \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2x + 1)}}{x}} + 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}}$ 

 

Dari sini pengerjaan kita bercabang dua, yaitu:

1. Mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2x + 1)}}{x}}$, dan 
2. Mencari nilai $\displaystyle 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}}$.

 

#1. Mencari Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2x + 1)}}{x}}$.

Mungkin banyak yang belum tahu bahwa ada deret Taylor untuk logaritma alami yang bernama Deret Mercator-Newton seperti persamaan di bawah ini.

$\displaystyle \ln {(y + 1)} = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} + \frac{y^5}{5} - ... $

Dengan mensubtitusikan $y = 2x$, kita akan memperoleh persamaan di bawah ini.

$\displaystyle \ln {(2x + 1)} = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \frac{(2x)^4}{4} + \frac{(2x)^5}{5} - ... $

Apabila kedua ruas pada persamaan di atas dibagi dengan $x$ akan menjadi seperti di bawah ini.

$\displaystyle \begin{split} \frac{\ln {(2x + 1)}}{x} &= \frac{2x}{x} - \frac{(2x)^2}{2x} + \frac{(2x)^3}{3x} - \frac{(2x)^4}{4x} + \frac{(2x)^5}{5x} - ... \\ &= 2 - \frac{2^2~x}{2} + \frac{2^3~x^2}{3} - \frac{2^4~x^3}{4} + \frac{2^5~x^4}{5} - ... \end{split} $

Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0}{}$ di-apply ke kedua ruas pada persamaan di atas akan menjadi seperti ini.

$\displaystyle \begin{split} \lim_{x \to 0}{\frac{\ln {(2x + 1)}}{x}} &= \lim_{x \to 0}{\left( 2 - \frac{2^2~x}{2} + \frac{2^3~x^2}{3} - \frac{2^4~x^3}{4} + \frac{2^5~x^4}{5} - ... \right)} \\ &= \lim_{x \to 0}{2} - \lim_{x \to 0}{\frac{2^2~x}{2}} + \lim_{x \to 0}{\frac{2^3~x^2}{3}} - \lim_{x \to 0}{\frac{2^4~x^3}{4}} + \lim_{x \to 0}{\frac{2^5~x^4}{5}} - ... \\ &= 2 - 0 +0 - 0 + 0 - ... \\ &= 2 \end{split} $

Jadi, diperoleh $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln {(2x + 1)}}{x}} = 2$.

 

#2. Mencari nilai $\displaystyle 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}}$.

Jelas bahwa $\ln(e^x) = x$.

Dengan demikian 

$\displaystyle \begin{split} 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}} &= 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{x}{x}} \\ &= 20 \cdot \lim_{x \to 0}{1} \\ &= 20 \cdot 1\\ &= 20 \end{split}$

Jadi, diperoleh $\displaystyle 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}} = 20$.

 

Hasil Akhir

Dari 2 pengerjaan di atas, kita memperoleh hasil:

• $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln {(2x + 1)}}{x}} = 2$
• $\displaystyle 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}} = 20$

Sehingga dengan demikian:

$\displaystyle \begin{split} \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2xe^{20x} + e^{20x})}}{x}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2x + 1)}}{x}} + 20 \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{e^x}}{x}} \\ &= 2 ~+~ 20 \\ &= 22  \end{split}$ 

Jadi,

$\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln{(2xe^{20x} + e^{20x})}}{x}} = 22$.