Contoh Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika #2: Habis Dibagi 5
Mari kita membuktikan menggunakan induksi matematika! :D
Soal
Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$.
Pembahasan
Ingat ya yang dimaksud dengan bilangan asli itu (disimbolkan dengan $\mathbb{N}$) adalah $1,2,3,4,5$,.., dst.
Untuk membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$ dengan metode induksi matematika, kita harus melakukan 3 langkah berikut.
#Langkah Pembuktian ke-1:
Buktikan Berlaku untuk $n = 1$.
Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n= 1$.
Caranya?
Ya, substitusikan saja $n=1$ ke $11^n - 6^n$. Kita akan memperoleh:
$\begin{split} 11^n - 6^n &= (11)^1 - (6)^1 \\ &= 11 - 6 \\ &= 5 \end{split}$
Jelas sekali ya bahwa $5$ itu kan habis dibagi dengan $5$.
Jadi, pada langkah ke-1 ini kita sudah berhasil membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n= 1$.
Mari kita berbahagia sebentar. Hahaha. :D
Untuk membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n=2,3,4,5,6...$ dst ya... silakan simak kelanjutan pembuktian di bawah! :D
#Langkah Pembuktian ke-2:
Diasumsikan Berlaku untuk suatu $n = p$.
Pada langkah ini, kita mengasumsikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk suatu bilangan asli $n$ yang bernilai $p$.
Dengan kata lain, terdapat suatu bilangan asli $p$, sedemikian sehingga $11^p - 6^p$ habis dibagi $5$.
Ingat ya!
Ini baru asumsi lho!
Asumsi itu adalah sesuatu yang diyakini kebenarannya, tapi belum terbukti benar.
#Langkah Pembuktian ke-3:
Buktikan Berlaku untuk $n = p + 1$.
Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n = p + 1$.
Dengan kata lain, kita harus membuktikan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$ untuk suatu bilangan asli $p$.
***
Pertama, kita akan sedikit menjabarkan $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$.
Perhatikan bahwa:
$\begin{split} 11^{(p+1)} - 6^{(p+1)} &= 11^p \cdot 11 - 6^p \cdot 6 \\ &= (11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p) \end{split}$
Kita akan memperoleh $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)} = (11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$.
Dengan demikian, pernyataan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$ akan ekuivalen dengan $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$.
***
Kedua, yuk, ingat lagi #Langkah Pembuktian ke-2!
Pada #Langkah Pembuktian ke-2, kita mengasumsikan bahwa $11^p - 6^p$ habis dibagi $5$.
Dengan kata lain, $11^p - 6^p = 5x$ untuk suatu bilangan asli $x$.
Dengan memindah ruas elemen $6^p$ pada persamaan $11^p - 6^p = 5x$, kita akan memperoleh persamaan tersebut ekuivalen dengan $11^p = 5x + 6^p$.
***
Selanjutnya, jika persamaan $11^p = 5x + 6^p$ kita substitusikan ke $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$, maka kita akan memperoleh:
$(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$
Dengan demikian, pernyataan bahwa $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$ akan ekuivalen dengan $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$.
***
Selanjutnya, apabila $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ kita jabarkan, akan diperoleh:
$\begin{split} (11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p) &= (11 \cdot 5x) + (11 \cdot 6^p) - (6 \cdot 6^p) \\ &= (5 \cdot 11 \cdot x) - 6^p \cdot (11 - 6) \\ &= 5 \cdot (11x) - 6^p \cdot (5) \\ &= 5 \cdot (11x - 6^p) \end{split}$
Dari proses penjabaran di atas, terlihat bahwa $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ merupakan suatu bilangan asli kelipatan $5$, yaitu $5 \cdot (11x - 6^p)$.
Karena $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ merupakan suatu bilangan asli kelipatan $5$, maka $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ akan habis dibagi $5$.
Karena $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p) = 11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$, maka $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ akan habis dibagi $5$.
Jadi, dari sekian panjang penjabaran di atas, kita berhasil membuktikan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$.
#Kesimpulan:
Berdasarkan Langkah Pembuktian ke-1 hingga ke-3, kita dapat menyimpulkan benar bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$.