Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Contoh Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika #2: Habis Dibagi 5

{ 9.Ags.2021 } { matematika }

Mari kita membuktikan menggunakan induksi matematika! :D

 

Soal

Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

$11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$.

 

Pembahasan

Ingat ya yang dimaksud dengan bilangan asli itu (disimbolkan dengan $\mathbb{N}$) adalah $1,2,3,4,5$,.., dst.

 

Untuk membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$ dengan metode induksi matematika, kita harus melakukan 3 langkah berikut.

 

#Langkah Pembuktian ke-1:
Buktikan Berlaku untuk $n = 1$. 

Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n= 1$.

Caranya?

Ya, substitusikan saja $n=1$ ke $11^n - 6^n$. Kita akan memperoleh:

$\begin{split} 11^n - 6^n &= (11)^1 - (6)^1 \\ &= 11 - 6 \\ &= 5 \end{split}$

Jelas sekali ya bahwa $5$ itu kan habis dibagi dengan $5$.

 

Jadi, pada langkah ke-1 ini kita sudah berhasil membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n= 1$.

Mari kita berbahagia sebentar. Hahaha. :D 

 

Untuk membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n=2,3,4,5,6...$ dst ya... silakan simak kelanjutan pembuktian di bawah! :D

 

#Langkah Pembuktian ke-2:
Diasumsikan Berlaku untuk suatu $n = p$. 

Pada langkah ini, kita mengasumsikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk suatu bilangan asli $n$ yang bernilai $p$.

Dengan kata lain, terdapat suatu bilangan asli $p$, sedemikian sehingga $11^p - 6^p$ habis dibagi $5$.

 

Ingat ya!

Ini baru asumsi lho!

Asumsi itu adalah sesuatu yang diyakini kebenarannya, tapi belum terbukti benar.

 

#Langkah Pembuktian ke-3:
Buktikan Berlaku untuk $n = p + 1$. 

Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk $n = p + 1$.

Dengan kata lain, kita harus membuktikan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$ untuk suatu bilangan asli $p$.

 

***

 

Pertama, kita akan sedikit menjabarkan $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$.

 

Perhatikan bahwa:

$\begin{split} 11^{(p+1)} - 6^{(p+1)} &= 11^p \cdot 11 - 6^p \cdot 6 \\ &= (11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p) \end{split}$

Kita akan memperoleh $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)} = (11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$.

 

Dengan demikian, pernyataan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$ akan ekuivalen dengan $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$.

 

***

 

Kedua, yuk, ingat lagi #Langkah Pembuktian ke-2

Pada #Langkah Pembuktian ke-2, kita mengasumsikan bahwa $11^p - 6^p$ habis dibagi $5$.

Dengan kata lain, $11^p - 6^p = 5x$ untuk suatu bilangan asli $x$.

Dengan memindah ruas elemen $6^p$ pada persamaan $11^p - 6^p = 5x$, kita akan memperoleh persamaan tersebut ekuivalen dengan $11^p = 5x + 6^p$.

 

***

 

Selanjutnya, jika persamaan $11^p = 5x + 6^p$ kita substitusikan ke $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$, maka kita akan memperoleh:

$(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$

 

Dengan demikian, pernyataan bahwa $(11 \cdot 11^p) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$ akan ekuivalen dengan $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ habis dibagi $5$.

 

***

 

Selanjutnya, apabila $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ kita jabarkan, akan diperoleh: 

$\begin{split} (11 \cdot (5x + 6^p)) -  (6 \cdot 6^p) &= (11 \cdot 5x) + (11 \cdot 6^p) - (6 \cdot 6^p) \\ &=  (5 \cdot 11 \cdot x) - 6^p \cdot (11 - 6) \\ &= 5 \cdot (11x) - 6^p \cdot (5) \\ &= 5 \cdot (11x - 6^p) \end{split}$

Dari proses penjabaran di atas, terlihat bahwa $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ merupakan suatu bilangan asli kelipatan $5$, yaitu $5 \cdot (11x - 6^p)$.

Karena $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ merupakan suatu bilangan asli kelipatan $5$, maka $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p)$ akan habis dibagi $5$.

Karena $(11 \cdot (5x + 6^p)) - (6 \cdot 6^p) = 11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$, maka $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ akan habis dibagi $5$.

 

Jadi, dari sekian panjang penjabaran di atas, kita berhasil membuktikan bahwa $11^{(p+1)} - 6^{(p+1)}$ habis dibagi $5$.

 

#Kesimpulan:

Berdasarkan Langkah Pembuktian ke-1 hingga ke-3, kita dapat menyimpulkan benar bahwa $11^n - 6^n$ habis dibagi $5$ untuk setiap bilangan asli $n$.