MAW MUMET!

Contoh Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika #1: Habis Dibagi 3

2 Agustus 2021

Mari kita membuktikan menggunakan induksi matematika! :D

 

Soal

Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

$n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$.

 

Pembahasan

Ingat ya yang dimaksud dengan bilangan asli itu (disimbolkan dengan $\mathbb{N}$) adalah $1,2,3,4,5$,.., dst.

 

Untuk membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$ dengan metode induksi matematika, kita harus melakukan 3 langkah berikut.

 

#Langkah Pembuktian ke-1:
Buktikan Berlaku untuk $n = 1$. 

Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n= 1$.

Caranya?

Ya, substitusikan saja $n=1$ ke $n^3-n$. Kita akan memperoleh:

$\begin{split} n^3 - n &= (1)^3 - 1 \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{split}$

Jelas sekali ya bahwa $0$ itu kan habis dibagi dengan $3$.

 

Jadi, pada langkah ke-1 ini kita sudah berhasil membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n= 1$.

Mari kita berbahagia sebentar. Hahaha. :D 

 

Untuk membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n=2,3,4,5,6...$ dst ya... silakan simak kelanjutan pembuktian di bawah! :D

 

#Langkah Pembuktian ke-2:
Diasumsikan Berlaku untuk suatu $n = p$. 

Pada langkah ini, kita mengasumsikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk suatu bilangan asli $n$ yang bernilai $p$.

Dengan kata lain, terdapat suatu bilangan asli $p$, sedemikian sehingga $p^3 - p$ habis dibagi $3$.

 

Ingat ya!

Ini baru asumsi lho!

Asumsi itu adalah sesuatu yang diyakini kebenarannya, tapi belum terbukti benar.

 

#Intermeso
Selingan Proses Pembuktian

Progress kita sejauh ini:

  1. Kita berhasil membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk nilai $n = 1$.
  2. Kita mengasumsikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk suatu nilai $n=p$.

 

Pada intemeso alias selingan proses pembuktian ini, kita akan mengulik sedikit perihal bentuk $n^3 -n$.

Perhatikan bahwa $n^3-n$ itu kan bisa difaktorkan.

Ya toh? :D

 

Nah, jika $n^3 -n$ difaktorkan, akan diperoleh:

$n^3 - n = (n-1)\cdot(n)\cdot(n+1)$

 

Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan asli $n$, akan berlaku $n \neq (n-1)$.

Ya toh? :)

 

Untuk sebarang bilangan asli $n$, kita juga dapat menyatakan bahwa $n \neq (n+1)$.

Ya toh? :)

 

Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa $n$, $n-1$, dan $n+1$ adalah $3$ bilangan asli yang berbeda.

Ya tidak? :D

 

Dari sifat-sifat di atas, kita dapat menyatakan suatu sifat baru ini.

Jika bilangan $n$, $n-1$, dan $n+1$ kita kalikan,
kemudian terdapat suatu bilangan asli $x$ yang membagi habis hasil perkalian $3$ bilangan tersebut,

maka salah satu dari $n$, $n-1$, atau $n+1$ pastilah kelipatan $x$.

 

Kita akan menggunakan sifat di atas pada #Langkah Pembuktian ke-3.
Intermeso selesai sampai di sini.

Mari, sekarang kita kembali ke langkah utama pembuktian. :)

 

#Langkah Pembuktian ke-3:
Buktikan Berlaku untuk $n = p + 1$. 

Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n = p + 1$.

 

Sebelumnya, ingat bahwa pada bagian #Intermeso, kita dapat memfaktorkan $n^3 - n$ menjadi $(n-1)\cdot(n)\cdot(n+1)$.

Dengan demikian, dengan mensubstitusikan $n=p+1$ ke $(n-1)\cdot(n)\cdot(n+1)$, kita akan memperoleh:

$\begin{split} n^3 - n &=(n-1)\cdot(n)\cdot(n+1) \\ &= ((p+1) - 1)\cdot(p+1)\cdot((p+1)+1)\\ &= (p)\cdot(p+1)\cdot(p+2) \\ \end{split}$

 

Jadi, membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n = p + 1$ ekuivalen dengan membuktikan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi $3$.

 

***

 

Selanjutnya, bagaimanakah cara membuktikan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi $3$?

 

Ingat! Pada #Langkah Pembuktian ke-2, kita mengasumsikan bahwa $p^3 - p$ habis dibagi $3$.

Karena $p^3 - p$ dapat difaktorkan menjadi $(p-1)\cdot(p)\cdot(p+1)$, maka asumsi bahwa $p^3 - p$ habis dibagi $3$ akan ekuivalen dengan asumsi bahwa $(p-1)\cdot(p)\cdot(p+1)$ habis dibagi $3$.

 

Perhatikan bahwa $p$, $(p-1)$, dan $(p+1)$ adalah tiga bilangan asli yang berbeda. Oleh sebab itu, karena asumsi $(p-1)\cdot(p)\cdot(p+1)$ habis dibagi $3$, menurut sifat di dalam kotak biru di bagian #Intermeso, kita dapat menyimpulkan bahwa:

Salah satu dari $p$, $(p-1)$, atau $(p+1)$ adalah kelipatan $3$.

Bisa jadi, $p$ adalah kelipatan $3$.
Bisa jadi, $(p-1)$ adalah kelipatan $3$.
Bisa jadi, $(p+1)$ adalah kelipatan $3$.

Pokoknya, salah satu dari $p$, $(p-1)$, atau $(p+1)$ adalah kelipatan $3$.

 

Mari kita cermati tiga kemungkinan tersebut satu per satu. :)

 

***

##Kemungkinan Pertama:
$p$ adalah kelipatan $3$.

Pada kemungkinan ini, $p$ adalah bilangan asli kelipatan $3$.

 

Ingat!

Misi utama kita pada #Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi dengan $3$.

 

Perhatikan!

Karena $p$ adalah salah satu faktor dari $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$, maka dapat kita simpulkan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$.

Dengan kata lain, $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi $3$. 

 

Jadi, jika $p$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi $3$.

 

##Kemungkinan Kedua:
$(p-1)$ adalah kelipatan $3$.

Pada kemungkinan ini, $(p-1)$ adalah bilangan asli kelipatan $3$.

Oleh sebab itu, $(p-1) + 3 = p+2$ juga merupakan bilangan asli kelipatan $3$ dong? 

 

Ingat!

Misi utama kita pada #Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi dengan $3$.

 

Perhatikan!

Karena $(p+2)$ adalah salah satu faktor dari $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$, maka dapat kita simpulkan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$.

Dengan kata lain, $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi $3$. 

 

Jadi, jika $(p-1)$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi $3$.

 

##Kemungkinan Ketiga:
$(p+1)$ adalah kelipatan $3$.

Pada kemungkinan ini, $(p+1)$ adalah bilangan asli kelipatan $3$.

 

Ingat!

Misi utama kita pada #Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi dengan $3$.

 

Perhatikan!

Karena $(p+1)$ adalah salah satu faktor dari $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$, maka dapat kita simpulkan bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$.

Dengan kata lain, $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ habis dibagi $3$. 

 

Jadi, jika $(p+1)$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi $3$.

 

***

 

Dari pembuktian panjang di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:

  • Jika $p$ adalah kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi dengan $3$.
  • Jika $(p-1)$ adalah kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi dengan $3$.
  • Jika $(p+1)$ adalah kelipatan $3$, maka $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi dengan $3$.

Dengan kata lain:

Berdasarkan asumsi bahwa $(p-1)\cdot(p)\cdot(p+1)$ habis dibagi dengan $3$, akan berlaku benar bahwa $(p)\cdot(p+1)\cdot(p+2)$ akan habis dibagi dengan $3$.

Pernyataan di atas ekuivalen dengan:

Berdasarkan asumsi bahwa $p^3 - p$ habis dibagi dengan $3$, akan berlaku benar bahwa $(p+1)^3 - (p+1)$ akan habis dibagi dengan $3$.

 

#Kesimpulan:

Berdasarkan Langkah Pembuktian ke-1 hingga ke-3, kita dapat menyimpulkan benar bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Kata Kunci

bilangan asli induksi matematika logika matematika pembuktian