Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembuktian Soal Tautologi Tanpa Tabel Kebenaran #1

{ 23.Jun.2021 } { matematika }

Soal tautologi. Muncul di mata pelajaran matematika SMA atau mata kuliah logika matematika. Seringkali membuat pusing dan bingung.

Maka dari itu, ayo dicoba mengerjakan contoh soal berikut.

Mari mengerjakan pembuktian tautologi tanpa tabel kebenaran!

Semoga penjelasannya mudah dipahami. :D

 

Soal

Buktikan tanpa tabel kebenaran bahwa bentuk berikut merupakan tautologi!

$( p \wedge ( p  \implies q ) ) \implies q$

 

Penyelesaian

Ingat ya bahwa:

A tautology is a proposition that is always true, regardless of the truth values of the propositional variables it contains.

Yang artinya:

Tautologi adalah proposisi yang selalu bernilai benar, apapun nilai kebenaran yang di-inputkan pada variabel proposisi tersebut. 

 

Pokoknya, proposisi pada soal akan kita ubah dalam bentuk konjungsi (conjuction) dan disjungsi (disjuction).

Siapa tahu bentuk proposisinya bakal berubah menjadi lebih sederhana. 

Dari situ nanti bakal ketahuan proposisinya bakal bernilai seperti apa.

 

Oh yaaa.

Ingat ya, implikasi (implication) itu bisa kita ubah menjadi bentuk disjungsi. Perhatikan di bawah ini!

$a \implies b$ ekuivalen dengan $\neg a \vee b$

 

Mari kita lihat proposisi pada soal lagi.

$( p \wedge ( p  \implies q ) ) \implies q$

 

Implikasi di posisi paling kiri diberi warna merah supaya terlihat nyentrik. :p

$( p \wedge \color{red}{( p  \implies q )} ) \implies q$

 

Implikasi yang berwarna merah itu diubah menjadi bentuk disjungsi.

$( p \wedge \color{purple}{( \neg p  \vee q )} ) \implies q$

Warnanya berubah jadi ungu yang menandakan perubahan yang sudah sukses dikerjakan. :D

 

Yang ada di ruas kiri dari simbol implikasi sekarang diberi warna merah.

$\color{red}{( p \wedge ( \neg p  \vee q ) )} \implies q$

 

Bahwasanya, yang ruas kiri itu menurut hukum distribusi akan menjadi seperti ini.

$\color{purple}{(~( p \wedge \neg p ) \vee ( p  \wedge q )~)} \implies q$

 

Jelas ya, apapun nilai kebenaran yang di-input ke $p$, proposisi  $p \wedge \neg p$ akan selalu bernilai FALSE.

Jadinya seperti ini deh.

$(\color{red}{\text{FALSE}} \vee ( p  \wedge q )) \implies q$

 

Oke deh, berhubung implikasinya tinggal satu, jadi ya diubah saja ke bentuk disjungsi.

$\neg (\color{red}{\text{FALSE}} \vee ( p  \wedge q )) \vee q$

 

Yang berada di dalam kurung bertanda negasi di sisi kiri diberi warna merah.

$\color{red}{\neg (\text{FALSE} \vee ( p  \wedge q ))} \vee q$

Kemudian ya dinegasikan lah yaaa.

$\color{purple}{(\text{TRUE} \wedge ( \neg p  \vee \neg q ))} \vee q$

 

Eee... ini sekadar mengembalikan warna jadi hitam lagi. :p

Eh, tapi untuk teks TRUE tetap warnanya hijau. :p 

$(\color{green}{\text{TRUE}} \wedge ( \neg p  \vee \neg q )) \vee q$

 

Perhatikan proporsi di atas itu.

Menurut hukum distribusi, proporsi di atas itu bisa menjadi seperti ini.

$(\color{green}{\text{TRUE}} \vee q) ~\wedge~ ((\neg p  \vee \neg q ) \vee q)$

 

Jelas sih bahwa $(\color{green}{\text{TRUE}} \vee q)$ kan selalu TRUE.

 

Sehingga, proporsi

$(\color{green}{\text{TRUE}} \vee q) ~\wedge~ ((\neg p  \vee \neg q ) \vee q)$

akan menjadi

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ ((\neg p  \vee \neg q ) \vee q)$

 

Perhatikan yang sekarang diberi warna merah!

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ \color{red}{((\neg p  \vee \neg q ) \vee q)}$

Kalau menurut hukum disributif akan menjadi seperti di bawah.

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ \color{purple}{((\neg p  \vee q) \vee (\neg q \vee q ))}$

 

Perhatikan bahwa $(\neg q \vee q )$ akan selalu bernilai TRUE

Sehingga proporsi di atas akan menjadi

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ ((\neg p  \vee q) \vee \color{green}{\text{TRUE}})$

 

Perhatikan bahwa $((\neg p  \vee q) \vee \color{green}{\text{TRUE}})$ akan selalu bernilai TRUE.

Kenapa?

Ya karena apapun nilai kebenaran dari $(\neg p  \vee q)$, apabila didisjungsikan dengan TRUE, maka hasil nilai kebenarannya akan selalu TRUE toh?

 

Jadi, proposisi 

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ ((\neg p  \vee q) \vee \color{green}{\text{TRUE}})$

akan menjadi

$\color{green}{\text{TRUE}} ~\wedge~ \color{green}{\text{TRUE}}$

yang jelas adalah

$\color{green}{\text{TRUE}}$

 

Jadi, terbukti sudah bahwa 

$( p \wedge ( p  \implies q ) ) \implies q$

adalah tautologi.

 

Penutup

Semoga ocehan di atas bisa jadi sedikit bantuan untuk mengerjakan soal tautologi.

Biasalah, anak SMA atau mahasiswa baru kan belum begitu familier dengan matematika tanpa angka semacam ini. :D

 

Yang jelas, pas menjawab soal ujian jangan menulis macam ocehan di atas ya!

Pakai bahasa yang lebih formal lah, hahaha. :D

 

Yang jelas pula, dalam kehidupan nyata alias di dunia kerja nanti, permasalahan tautologi nggak ada yang "semudah" ini.

Yang di soal kan hanya ada variabel $p$ dan $q$. Kalau di dunia kerja nanti bisa belasan bahkan ratusan.

Cara mengerjakannya pula dengan bantuan komputer.

Hasilnya dijamin betul (asal logikanya betul :p) plus menghemat waktu (tidak perlu corat-coret rumus di kertas :p).

 

Tapi, buat anak SMA atau mahasiswa baru, sangat ada baiknya tahu dasar-dasar tautologi lah.

Jangan langsung diserahtugaskan ke komputer saja. :p

 

Okey....

Lanjut kerja lagi.

Cukup refreshing-nya mengerjakan soal matematikanya. :p