Cek Kontinuitas Fungsi Bercabang (Piecewise Function)

Jadi ceritanya, diketahui fungsi "bercabang" sebagai berikut.

$ f(x) = \begin{cases} x+1 & \quad \text{jika } x \leq -1 \\ 2x+1 & \quad \text{jika } -1 < x < 1\\ x^2+3 & \quad \text{jika } 1 \leq x \\ \end{cases} $

Akan diselidiki apakah fungsi $f(x)$ kontinu di $x = 1$ dan di $x = -1$.

Suatu fungsi $f(x)$ dikatakan kontinu di $x = a$ apabila:

1. $f(x)$ terdefinisi pada $x = a$. Yaitu nilai $f(a)$ ada. Sebut saja $f(a) = M$.
2. Limit $f(x)$ terdefinisi untuk $x$ mendekati $a$. Sebut saja $\lim_{x \to a} f(x) = N$.
3. Nilai $M = N$.

 

Untuk $x = -1$ diketahui bahwa $f(-1) = -1 + 1 = 0$. Jadi, benar bahwa $f(x)$ terdefinisi di $x = -1$.

Selanjutnya akan dicek, limit dari $f(x)$ ketika $x$ mendekati $-1$.

Untuk limit kiri dari $f(x)$ adalah:

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} x + 1 = -1 + 1 = 0$

Untuk limit kanan dari $f(x)$ adalah:

$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} 2x + 1 = -2 + 1 = -1$

Perhatikan! Karena limit kiri dan limit kanan dari $f(x)$ saat $x$ mendekati $-1$ memiliki nilai yang berbeda ($0$ dan $-1$), maka dengan demikian limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $-1$ tidak terdefinisi.

Jadi, fungsi $f(x)$ tidak kontinu di $x = -1$.

 

Untuk $x = 1$ diketahui bahwa $f(1) = 1^2 + 3 = 4$. Jadi, benar bahwa $f(x)$ terdefinisi di $x = 1$.

Selanjutnya akan dicek, limit dari $f(x)$ ketika $x$ mendekati $-1$.

Untuk limit kiri dari $f(x)$ adalah:

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 2x + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$

Untuk limit kanan dari $f(x)$ adalah:

$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 + 3 = 1 + 3 = 4$

Perhatikan! Karena limit kiri dan limit kanan dari $f(x)$ saat $x$ mendekati $1$ memiliki nilai yang berbeda ($3$ dan $4$), maka dengan demikian limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $1$ tidak terdefinisi.

Jadi, fungsi $f(x)$ tidak kontinu di $x = 1$.