Memahami Subgrup Normal #1

Hanya subgrup yang menyandang gelar normal.
Memangnya, grup tidak ada yang menyandang gelar normal?

Apakah ke-"normal"-an ini hanya berlaku bagi subgrup saja?
Apakah betul tidak ada yang bernama grup normal?

 

Subgrup yang "normal" menjadi sesuatu yang menarik dikarenakan karakteristik dari subgrup itu sendiri. Seperti yang kita tahu, subgrup adalah suatu grup "kecil" di dalam grup yang lebih "besar".

Tentu menjadi sesuatu yang menarik apabila hubungan antara subgrup dan grup dapat ditelaah lebih jauh. Seperti misal, apakah suatu subgrup "mewarisi" sifat-sifat dari grup yang menjadi "induk"-nya? Apakah ada sifat dari grup "induk" yang tidak dimiliki oleh si subgrup?    

 

Eh, subgrup yang dibicarakan di sini tentu saja subgrup yang proper ya! Subgrup proper itu kan subgrup yang elemennya tidak plek sama dengan grup yang menjadi "induk"-nya. Subgrup proper juga bukan subgrup trivial yang hanya memiliki elemen identitas sebagai anggotanya.

 

Dalam kasus subgrup normal, yang didefinisikan sebagai subgrup normal adalah subgrup yang invarian terhadap konjugasi oleh setiap elemen di grup "induk"-nya.

Kata-kata, invarian dan konjugasi mungkin bakal terdengar asing bagi orang-orang yang baru mendalami topik grup dan subgrup. Sehingga dengan demikian, pengertian subgrup normal akan terasa sulit untuk dipahami.

 

Nah, sekarang begini saja. Kita gunakan definisi subgrup normal yang lebih ramah, yang lebih mudah dipahami, yang tidak menyinggung-nyinggung perihal invarian dan konjugasi.

Jadi, definisi subgrup normal adalah seperti berikut.

 

Definisi

Diketahui $G$ adalah grup dan $H$ adalah subgrup proper dari $G$.

Subgrup $H$ dikatakan sebagai subgrup normal (terhadap $G$) jika dan hanya jika untuk setiap $g \in G$ berlaku $gH = Hg$.   

 

Harap diperhatikan ya!

Yang dinotasikan sebagai $gH$ itu adalah himpunan ini: $\{ gh | h \in H\}$. 
Demikian pula, yang dinotasikan sebagai $Hg$ itu adalah himpunan ini: $\{ hg | h \in H\}$. 

 

Harap diperhatikan juga ya!

$gh$ itu bukan perkalian antara elemen $g$ dengan $h$!
$gh$ itu adalah operasi biner antara elemen $g$ dengan $h$.
Demikian pula dengan notasi $hg$.

Ya, misalkan saja pada grup $G$, notasi operasi biner yang berlaku adalah $*$.
Maka, subgrup $H$ dikatakan sebagai subgrup normal (terhadap $G$) jika dan hanya jika untuk setiap $g \in G$ berlaku $g * H = H * g$.

Tentu saja, $g*H = \{ g*h | h \in H\}$ dan  $H*g = \{ h*g | h \in H\}$.

Ingat lho! $gh$ belum tentu sama dengan $hg$ jika operasi biner pada grup tidak komutatif!