Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Cara Menentukan Komposisi Fungsi Piecewise dan Domainnya #2

{ 2.Jul.2021 } { matematika }

Dalam matematika, jika kita menyinggung topik tentang fungsi, pastilah komposisi fungsi tidak akan terlupa untuk dibahas.  

Komposisi fungsi adalah topik yang umum dipelajari pada mata kuliah Kalkulus I. Selain di jenjang kuliah, umumnya topik komposisi fungsi juga dipelajari pada kelas 10 SMA.

Hanya saja, jika dibandingkan dengan jenjang SMA, topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan terasa lebih sulit. Bisa jadi, hal tersebut dikarenakan topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan sering melibatkan fungsi piecewise (piecewise function). Di bawah ini adalah contoh fungsi piecewise.

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{,untuk } x\leq 0 \\ \frac{100-x}{100} & \text{,untuk } 0 < x < 100 \\ 0 & \text{,untuk } x \geq 100 \end{cases}$

Sebagaimana yang terlihat pada contoh di atas, bentuk fungsi piecewise rasanya tidak terlalu sulit untuk dipahami. Mungkin karena fungsi piecewise amat jarang disinggung pada matematika SMA, akibatnya banyak mahasiswa baru yang kesulitan mendalami topik komposisi fungsi pada mata kuliah Kalkulus I.

 

Nah, pada tulisan ini, kita akan mencoba untuk menyelesaikan soal komposisi fungsi yang melibatkan fungsi piecewise.

Semoga bisa memberi sedikit pencerahan bagi yang baru mempelajari topik komposisi fungsi di mata kuliah Kalkulus I.

 

Soal

Tentukan $f \circ g$ beserta domainnya, jika diketahui

$f(x) = \begin{cases} \ln{(x+1)} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle \frac{1}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$

dan 

$g(x) = \begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{,untuk } x > 2 \\ & \\ \displaystyle 2x & \text{,untuk } x \leq 2 \end{cases}$.

 

Pembahasan

1. Persiapan Sebelum Membuat $(f \circ g)$.

Kita akan mencari tahu hal-hal di bawah ini sebelum membuat $(f \circ g)$.

  1. Memastikan bahwa fungsi $f$ benar-benar terdefinisi dengan baik di domain-nya.
  2. Memastikan bahwa fungsi $g$ benar-benar terdefinisi dengan baik di domain-nya.
  3. Mencari tahu image dari fungsi $g$.

     

Jadi, mari kita cari tahu satu per satu secara berurutan. :)

 

1.1. Memastikan bahwa fungsi $f$ benar-benar terdefinisi dengan baik di domain-nya.

Pada soal, fungsi $f$ didefinisikan sebagai berikut.

$f(x) = \begin{cases} \ln{(x+1)} & \text{,untuk } \color{blue}{x\geq 0} \\ & \\ \displaystyle \frac{1}{x} & \text{,untuk } \color{blue}{x < 0} \end{cases}$

Dengan definsi yang demikian diketahui $f$ merupakan fungsi piecewise. Selanjutnya, perhatikan syarat $x$ yang berwarna biru pada definisi fungsi $f$ di atas. Nilai $x$ ini adalah elemen yang berada di domain fungsi $f$.

Untuk mempermudah penyebutan, kita notasikan $f_1(x) = \ln{(x+1)}$ dan $\displaystyle f_2(x) = \frac{1}{x}$.

 

Perhatikan bahwa $x \geq 0$ ekuivalen dengan $x$ adalah elemen di interval $[0, +\infty) \subset \mathbb{R}$. Sedangkan $x < 0$ ekuivalen dengan $x$ adalah elemen di interval $(-\infty, 0) \subset \mathbb{R}$.

Karena $[0, +\infty) \cup (-\infty, 0) = \mathbb{R}$, maka kita dapat menyimpulkan bahwa domain fungsi $f$ adalah $\mathbb{R}$.

 

Selanjutnya, kita akan mengambil sebarang elemen di domain fungsi $f$. Karena domain fungsi $f$ adalah $\mathbb{R}$, maka dengan demikian kita ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$.

Sesuai definisi fungsi $f$ sebagai fungsi piecewise, $x \in \mathbb{R}$ yang kita ambil sebarang tersebut akan akan memenuhi kondisi $x \geq 0$ atau $x < 0$. Jelas bahwa $x$ tidak bisa memenuhi $x \geq 0$ dan $x < 0$ sekaligus toh?

 

Selanjutnya, perhatikan!

  • Jika $x \geq 0$, maka cabang fungsi $f$ yang bersesuaian adalah $f_1(x) = \ln{(x + 1)}$. Berdasarkan sifat bilangan real, jika $x \geq 0$, maka $x + 1 \geq 1$. Ingat bahwa fungsi $\ln{x}$ akan terdefinisi dengan baik jika dan hanya jika $x > 0$. Karena $x+1\geq1>0$, maka fungsi $\ln{(x+1)}$ akan terdefinisi dengan baik. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk $x \geq 0$, maka nilai $f(x) = f_1(x) = \ln{(x+1)}$ akan selalu terdefinisi dengan baik.
     
  • Jika $x < 0$, maka cabang fungsi $f$ yang bersesuaian adalah $\displaystyle f_2(x) = \frac{1}{x}$. Kita tahu bahwa $\displaystyle \frac{1}{x}$ selalu terdefinisi dengan baik jika dan hanya jika $x \neq 0$. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk $x < 0$, maka nilai $\displaystyle f(x) = f_2(x) = \frac{1}{x}$ akan selalu terdefinisi dengan baik.

 

Dengan demikian, di akhir bagian 1.1 ini kita bisa menyimpulkan bahwa fungsi $f$ terdefinisi dengan baik di domain-nya, yaitu $\mathbb{R}$.

 

1.2. Memastikan bahwa fungsi $g$ benar-benar terdefinisi dengan baik di domain-nya.

Pada soal, fungsi $g$ didefinisikan sebagai berikut.

$g(x) = \begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{,untuk } \color{blue}{x > 2} \\ & \\ \displaystyle 2x & \text{,untuk } \color{blue}{x \leq 2} \end{cases}$

Dengan definsi yang demikian diketahui $g$ merupakan fungsi piecewise. Selanjutnya, perhatikan syarat $x$ yang berwarna biru pada definisi fungsi $g$ di atas. Nilai $x$ ini adalah elemen yang berada di domain fungsi $g$.

Untuk mempermudah penyebutan, kita notasikan $g_1(x) = \sqrt{x-1}$ dan $\displaystyle g_2(x) = 2x$.

 

Perhatikan bahwa $x > 2$ ekuivalen dengan $x$ adalah elemen di interval $(2, +\infty) \subset \mathbb{R}$. Sedangkan $x \leq 2$ ekuivalen dengan $x$ adalah elemen di interval $(-\infty, 2] \subset \mathbb{R}$.

Karena $(2, +\infty) \cup (-\infty, 2] = \mathbb{R}$, maka kita dapat menyimpulkan bahwa domain fungsi $g$ adalah $\mathbb{R}$.

 

Selanjutnya, kita akan mengambil sebarang elemen di domain fungsi $g$. Karena domain fungsi $g$ adalah $\mathbb{R}$, maka dengan demikian kita ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$.

Sesuai definisi fungsi $g$ sebagai fungsi piecewise, $x \in \mathbb{R}$ yang kita ambil sebarang tersebut akan akan memenuhi kondisi $x > 2$ atau $x \leq 2$. Jelas bahwa $x$ tidak bisa memenuhi $x > 2$ dan $x \leq 2$ sekaligus toh?

 

Selanjutnya, perhatikan!

  • Jika $x > 2$, maka cabang fungsi $g$ yang bersesuaian adalah $g_1(x) = \sqrt{x - 1}$. Berdasarkan sifat bilangan real, jika $x > 2$, maka $x -1 > 1$. Ingat bahwa fungsi $\sqrt{x}$ akan terdefinisi dengan baik jika dan hanya jika $x \geq 0$. Karena $x-1>1>0$, maka fungsi $\sqrt{x-1}$ akan terdefinisi dengan baik. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk $x > 2$, maka nilai $g(x) = g_1(x) = \sqrt{x-1}$ akan selalu terdefinisi dengan baik.
     
  • Jika $x \leq 2$, maka cabang fungsi $g$ yang bersesuaian adalah $\displaystyle g_2(x) = 2x$. Kita tahu bahwa $2x$ selalu terdefinisi dengan baik untuk sebarang $x \in \mathbb{R}$. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk $x \leq 2$, maka nilai $\displaystyle g(x) = g_2(x) = 2x$ akan selalu terdefinisi dengan baik.

 

Dengan demikian, di akhir bagian 1.2 ini kita bisa menyimpulkan bahwa fungsi $g$ terdefinisi dengan baik di domain-nya, yaitu $\mathbb{R}$.

 

1.3. Mencari tahu image dari fungsi $g$.

Sesuai uraian di Bagian (2), fungsi piecewise $g$ terdefinisi dengan baik di $\mathbb{R}$. Cara termudah untuk menentukan image dari fungsi $g$ adalah dengan menggambar grafik fungsi $g$. Tapi, kali ini kita akan mencari tahu image fungsi $g$ tanpa menggambar grafiknya.

  • Jika $x > 2$, maka $g(x) = g_1(x) = \sqrt{x-1}$. Kita tertarik untuk menyelidiki nilai $x > 2$ yang sangat dekat dengan $2$ dan nilai $x$ mendekati $+\infty$.
    • Pertama, kita tertarik untuk menyelidiki nilai $x > 2$ yang sangat dekat dengan $2$. Misalkan kita pilih $x = 2,00001$. Dengan demikian kita akan memperoleh:
      $\sqrt{x-1} = \sqrt{2,00001 - 1} = \sqrt{1,00001} =  1.00000499999$.
      Perhatikan bahwa, jika nilai $x > 2$ sangat dekat dengan $2$, maka akan berakibat nilai $x -1$ akan sangat dekat dengan $1$. 
      Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan apabila $x > 2$ yang sangat dekat dengan $2$, maka nilai $g_1(x) = \sqrt{x-1}$ akan sangat dekat dengan $1$.
       
    • Kedua, kita tertarik untuk menyelidiki nilai $x$ mendekati $+\infty$. Perhatikan bahwa, jika $x$ mendekati $+\infty$, maka $x - 1$ juga mendekati $+\infty$.
      Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan apabila $x$ mendekati $+\infty$, maka nilai $g_1(x) = \sqrt{x-1}$ juga akan mendekati $+\infty$.
       
  • Jika $x \leq 2$, maka $g(x) = g_2(x) = 2x$. Karena $g_2$ merupakan fungsi linear, maka jelas sekali bahwa jika $x \leq 2$, maka $2x \leq 4$.

 

Selain itu, dari 2 poin di atas kita dapat menyimpulkan bahwa:

  • Fungsi $g_1(x) = \sqrt{x-1}$ merupakan fungsi naik (increasing function). Yaitu, untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ dengan $x \geq y \geq 1$, akan berakibat $g_1(x) \geq g_1(y)$.
    Untuk sebarang $x > 2$, maka $g_1(x) > 1$.
    Atau dengan kata lain, jika $x \in (2, +\infty)$, maka $g_1(x) \in (1, +\infty)$.
     
  • Fungsi $g_2(x) = 2x$ juga merupakan fungsi naik (increasing function). Yaitu, untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ dengan $x \geq y \geq 1$, akan berakibat $g_1(x) \geq g_1(y)$.
    Untuk sebarang $x \leq 2$, maka $g_2(x) \leq 4$.
    Atau dengan kata lain, jika $x \in (-\infty, 2]$, maka $g_2(x) \in (-\infty, 4]$.

 

Jadi, kita bisa menyimpulkan bahwa image fungsi $g$ adalah $(1, +\infty) \cup (-\infty, 4] = \mathbb{R}$.
Dengan kata lain, image fungsi $g$ adalah $\mathbb{R}$.

 

2. Proses Membuat $(f \circ g)$.

Jika diketahui fungsi $f$ dan $g$, maka kita dapat membuat $f \circ g$ asalkan $Image(g) \subseteq Domain(f)$.

Jika $Image(g) \not{\subset} Domain(f)$, maka kita tetap dapat membuat $f \circ g$ asalkan $Image(g) \cap Domain(f) \neq \emptyset$.
Jika $Image(g) \cap Domain(f) \neq \emptyset$, maka kita dapat membuat $f \circ g$ dengan cara mengubah domain fungsi $g$ dan juga domain fungsi $f$ supaya $Image_{\text{baru}}(g) \subseteq Domain_{\text{baru}}(f)$.

 

Berdasarkan uraian Bagian 1, kita mengetahui bahwa:

  1. $Domain(f) = \mathbb{R}$, dan
  2. $Image(g) = \mathbb{R}$

Karena $Image(g) = Domain(f) = \mathbb{R}$, maka kita dapat membuat $f \circ g$ tanpa mengubah domain fungsi $g$ dan juga domain fungsi $f$.

Nah! Mari kita buat $f \circ g$!

 

Dari definisi, kita tahu bahwa fungsi $f$ merupakan fungsi piecewise dengan dua fungsi cabang, yaitu $f_1$ dan $f_2$. Domain fungsi cabang $f_1$ adalah $[0, +\infty)$ sedangkan domain fungsi cabang $f_2$ adalah $(-\infty, 0)$.

 

2.1. Menyelidiki fungsi cabang $f_1$.

Mari kita menyelidiki fungsi cabang $f_1$!

Kita tahu bahwa $domain(f_1)$ adalah $[0, +\infty)$.

 

Selanjutnya, mari kita cari jawaban dari pertanyaan berikut.

"Apakah ada $x \in \mathbb{R}$ dengan $g(x) \in domain(f_1)$?"

 

dengan kata lain

"Apakah ada $x \in \mathbb{R}$ dengan $g(x) \in [0, +\infty)$?"

 

Karena $Image(g) = \mathbb{R}$, maka jawaban dari pertanyaan merah di atas adalah "JELAS ADA DONG!".

Perhatikan paparan 2 poin di bawah ini.

  • Mengacu ke hasil Bagian 1.3, untuk setiap $x \in (2, +\infty)$ akan berakibat $g_1(x) = \sqrt{x-1} \in (1, +\infty)$.
    Perhatikan bahwa $(1, +\infty) \subset [0, +\infty)$.
    Dengan kata lain, $(1, +\infty) \subset domain(f_1)$.

    Dengan demikian, untuk setiap $x \in (2, +\infty)$ akan berakibat $g_1(x) = \sqrt{x-1} \in [0, +\infty)$.
    Dengan kata lain, untuk setiap $x \in (2, +\infty)$ akan berakibat $g_1(x) = \sqrt{x-1} \in domain(f_1)$.
     
  • Mengacu ke hasil Bagian 1.3, untuk setiap $x \in (-\infty, 2]$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in (-\infty, 4]$.
    Perhatikan bahwa $(-\infty, 4] \not\subset [0, +\infty)$.
    Dengan kata lain, $(-\infty, 4] \not\subset domain(f_1)$.

    Akan tetapi, $(-\infty, 4] \cap [0, +\infty) \neq \emptyset$!
    Perhatikan bahwa, $(-\infty, 4] \cap [0, +\infty) = [0, 4]$.
    Perhatikan bahwa $g_2(x) = 2x \in [0,4]$ jika dan hanya jika $x \in [0, 2]$.

    Dengan demikian, untuk setiap $x \in [0,2]$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in [0, 4] \subset [0, +\infty)$.
    Dengan kata lain, untuk setiap $x \in [0,2]$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in [0, 4] \subset domain(f_1)$.

     

Dari uraian 2 poin di atas kita bisa menyimpulkan hal ini.

  • Diketahui untuk setiap $x \in (2, +\infty)$ akan berakibat $g_1(x) = \sqrt{x-1} \in domain(f_1)$.

    Dengan demikian, untuk setiap $x \in (2, +\infty)$ akan berakibat
    $(f \circ g)(x) = (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = f_1(\sqrt{x-1}) = \ln{(\sqrt{x-1} + 1)}$

     
  • Diketahui untuk setiap $x \in [0,2]$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in [0, 4] \subset domain(f_1)$.

    Dengan demikian, untuk setiap $x \in [0,2]$ akan berakibat
    $(f \circ g)(x) = (f_1 \circ g_2)(x) = f_1(g_2(x)) = f_1(2x) = \ln{(2x + 1)}$.

 

Oke. Penyelidikan fungsi cabang $f_1$ selesai sampai di sini. Selanjutnya, kita akan menyelidiki fungsi cabang $f_2$.

 

2.2. Menyelidiki fungsi cabang $f_2$.

Selanjutnya, mari kita menyelidiki fungsi cabang $f_2$!

Kita tahu bahwa $domain(f_2)$ adalah $(-\infty, 0)$.

 

Selanjutnya, mari kita cari jawaban dari pertanyaan berikut.

"Apakah ada $x \in \mathbb{R}$ dengan $g(x) \in domain(f_2)$?"

 

dengan kata lain

"Apakah ada $x \in \mathbb{R}$ dengan $g(x) \in (-\infty, 0)$?"

 

Karena $Image(g) = \mathbb{R}$, maka jawaban dari pertanyaan merah di atas adalah "JELAS ADA DONG!".

Mengacu ke hasil Bagian 1.3, untuk setiap $x \in (-\infty, 2]$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in (-\infty, 4]$.
Perhatikan bahwa $(-\infty, 4] \not\subset (-\infty, 0)$.
Dengan kata lain, $(-\infty, 4] \not\subset domain(f_2)$.

Akan tetapi, $(-\infty, 4] \cap (-\infty, 0) \neq \emptyset$!
Perhatikan bahwa, $(-\infty, 4] \cap (-\infty, 0) = (-\infty, 0)$.
Perhatikan bahwa $g_2(x) = 2x \in (-\infty, 0)$ jika dan hanya jika $x \in (-\infty, 0)$.

Dengan demikian, untuk setiap $x \in (-\infty, 0)$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in (-\infty, 0)$.
Dengan kata lain, untuk setiap $x \in (-\infty, 0)$ akan berakibat $g_2(x) = 2x \in domain(f_2)$.

Dengan demikian, untuk setiap $x \in (-\infty, 0)$ akan berakibat
$(f \circ g)(x) = (f_2 \circ g_2)(x) = f_2(g_2(x)) = f_2(2x) = \displaystyle \frac{1}{2x}$
 

Oke. Penyelidikan fungsi cabang $f_2$ selesai sampai di sini. Selanjutnya, kita akan merangkum hasil yang kita peroleh di Bagian 2.1 dan Bagian 2.2.

 

2.3. Rangkuman hasil pembuatan $f \circ g$.

Berdasarkan hasil Bagian 2.1 dan Bagian 2.2, kita dapat merangkum $f \circ g$ sebagai fungsi piecewise dengan definisi sebagai berikut.

 

$(f \circ g)(x) = \begin{cases} \ln{(\sqrt{x-1} + 1)} & \text{,untuk } x > 2 \\ & \\ \ln{(2x+1)} & \text{,untuk } 0 \leq x \leq 2 \\ & \\ \displaystyle \frac{1}{2x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$