Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Teorema Enumerasi Polya #1: Pengantar

{ 10.Jun.2021 } { matematika }

Artikel ini adalah daur ulang dari makalah yang aku tulis ketika mengikuti mata kuliah Matematika Diskrit & Kombinatorika yang diselenggarakan oleh Program Studi Matematika FMIPA UGM pada tahun 2006 silam. Wow! Berarti sudah hampir 15 tahun yang lalu!

Karena makalah yang aku tulis itu membahas beragam subtopik yang melatarbelakangi teori enumerasi Polya, jadi aku "memecah" makalah tersebut menjadi beberapa artikel blog yang akan terbit secara bertahap. Nah, artikel ini adalah induk dari seri artikel yang membahas teorema enumerasi Polya.  

 

Apa itu Teorema Enumerasi Polya?

Jadi, apa sebetulnya Teorema Enumerasi Polya?

 

Penjelasan mudahnya, enumerasi Polya atau teorema Polya adalah suatu teknik berhitung.

Teknik berhitung itu semacam lazimnya orang dewasa mengkalkulasi penjumlahan bilangan dengan mencorat-coret di atas kertas. Sedangkan lazimnya anak-anak belia menggunakan bantuan jari-jemari.

 

Paham toh? :D

 

Suatu teknik alias jurus alias cara alias metode, pastilah memiliki landasan teori. Demikian pula dengan enumerasi Polya, yaitu teknik berhitung yang ditemukan oleh pakdhe George Polya pada tahun 1937.  

Enumerasi Polya adalah suatu teknik berhitung yang memadukan teori di bidang struktur aljabar dengan kombinatorika. Umumnya, enumerasi Polya digunakan untuk menghitung entitas-entitas berbeda di antara sekian banyak (kemungkinan) entitas yang ada.

 

Contoh Kasus Teorema Enumerasi Polya

Contoh kasarnya begini. Pada jam pelajaran prakarya, seorang guru SD memerintahkan para murid untuk merangkai 5 manik-manik menjadi sebuah gelang. Manik-manik yang disediakan berwarna merah, putih, dan biru. Para murid bebas merangkai manik-manik sesuai pola warna kegemaran mereka.

  • Murid bernama Adi memilih untuk merangkai 5 manik-manik merah.
  • Murid bernama Bima memilih untuk merangkai manik-manik putih dan biru berselang-seling.
  • Murid bernama Cita memilih untuk merangkai 3 manik-manik putih, 1 manik-manik merah, dan 1 manik-manik biru.

Berdasarkan contoh di atas, pertanyaan yang dapat muncul adalah seperti apa sajakah pola warna gelang manik-manik yang dapat dibentuk oleh para murid?

Jawaban pertanyaan tersebut dapat dicari menggunakan Teorema Enumerasi Polya.

 

Topik Terkait Teorema Enumerasi Polya

Oh ya, sebelum membahas Teorema Enumerasi Polya lebih jauh, ada baiknya jika kita sudah familier dengan beberapa topik di bawah. 

  • Grup secara umum, terutama grup siklik.
  • Homomorfisma, isomorfisma, dan Teorema Fundamental Homomorfisma.
  • Grup permutasi, termasuk orbit dan cycle.
  • Grup simetri, termasuk cycle index.
  • Fungsi secara umum. Fungsi diskrit.
  • Fungsi injektif, surjektif, dan bijektif.
  • Fungsi pemberat (weighted function).
  • Fungsi pembangkit diskrit (discreet generating function).
  • Relasi ekuivalensi.
  • Permutasi, dan kombinasi.

 

Topik-topik di atas dapat dipelajari dengan merujuk pada literatur berikut.

  • John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra, Fifth Edition. Rhode Island: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 
  • C.L Liu. Dasar-Dasar Matematika Diskret, edisi kedua. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama, 1995.

 

Pada perkuliahan Program Studi Matematika FMIPA UGM, topik-topik di atas dibahas pada mata kuliah berikut.

  • Pengantar Logika Matematika & Himpunan
  • Pengantar Struktur Aljabar I.
  • Pengantar Model Probabilitas.
  • Teori Grup Hingga.

 

Terima Kasih

Tidak lupa, aku ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kawan-kawan satu kelas mata kuliah Matematika Diskrit & Kombinatorika, yaitu Mbak Arin, Emma, Adif, Mas Fentra, dan Mbak Nida.

 

Akhir kata, selamat mempelajari Teorema Enumerasi Polya!
Semoga Tuhan menjauhkan Anda dari ke-mumet-an. :D