Pembahasan Soal Ujian Kalkulus Nilai Absolut #2

Halooo. Balik lagi kita mengerjakan soal ujian mata kuliah Kalkulus yang biasa muncul di semester pertama perkuliahan. 

 

Soal mata kuliah Kalkulus yang akan aku kerjakan ini berasal dari soal ujian tengah semester Program Studi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2016/2017. Berkas soal ujian tersebut bisa disimak di tautan ini.

 

Pada saat tulisan ini terbit, aku sudah hampir 10 tahun lulus dari Program Studi Matematika FMIPA UGM. Selama bertahun-tahun itu bisa dibilang aku jarang berurusan dengan soal-soal matematika macamnya Kalkulus ini.

 

Jadi, jika dalam pengerjaan ada banyak kesalahan ya mohon dimaklumi ya!   Semoga tulisan ini bisa menjadi sedikit pencerahan dan bukan penggelapan. 

 

Soal

Tentukan semua nilai $x \in \mathbb{R} $ yang memenuhi $\left| 1 - 3x \right|  < 2 + \left| x \right|$.

 

Pembahasan

Aku pakai bahasa yang nggak terlalu "matematis" ya.  Pas di lembar jawaban ujian, penulisan pembahasannya ya nggak bisa sepanjang ini. Disingkat-singkat dengan tetap mempertahankan poin-poin penting.

 

Yang dimaksud $x \in \mathbb{R}$ itu adalah $x$ merupakan elemen bilangan real. Jangan lupa apa itu bilangan real.

 

Perhatikan juga apa yang dimaksud dengan pengertian nilai absolut atau nilai mutlak.

Perhatikan bahwa nilai absolut dari $x \in \mathbb{R}$ bisa dipandang sebagai fungsi $v(x)$ dengan

$v(x) = \left\{
  \begin{array}{lr}
    x & \text{, untuk } x \ge 0.\\
    -x & \text{, untuk } x < 0.
  \end{array}
\right.$

 

Perhatikan pertidaksamaan $\left| 1 - 3x \right|  < 2 + \left| x \right|$.

 

Perhatikan elemen yang berada di sisi kanan tanda $<$.

Dari pengertian fungsi nilai absolut di atas, pertidaksamaan $\left| 1 - 3x \right|  < 2 + \left| x \right|$ dapat dibagi menjadi 2 kasus:

1. $\left| 1 - 3x \right|  < 2 + x$, untuk $x \geq 0$, dan
2. $\left| 1 - 3x \right|  < 2 - x$, untuk $x < 0$.

 

Sekarang perhatikan elemen yang berada di sisi kiri tanda $<$.

Dari pengertian fungsi nilai absolut di atas dan juga 2 kasus di atas, pertidaksamaan tersebut dapat dibagi menjadi 2 kasus lagi

1. $1 - 3x < 2 + x$, untuk $x \geq 0$ dan $1 - 3x \geq 0$,
2. $3x - 1 < 2 + x$, untuk $x \geq 0$ dan $1 - 3x < 0$,
3. $1 - 3x < 2 - x$, untuk $x < 0$ dan $1 - 3x \geq 0$, dan
4. $3x - 1 < 2 - x$, untuk $x < 0$ dan $1 - 3x < 0$.

 

Selanjutnya, kita akan mencermati syarat-syarat dari keempat kasus di atas.

 

1. Pada kasus 1, diketahui $x \geq 0$ dan $1 - 3x \geq 0$.
   Syarat pada kasus ini ekuivalen dengan:
   $x \geq 0$ dan $x \leq \dfrac{1}{3}$
   yang berarti bahwa $x \in [0, \frac{1}{3}]$.
    
2. Pada kasus 2, diketahui $x \geq 0$ dan $1 - 3x < 0$.
   Syarat pada kasus ini ekuivalen dengan:
   $x \geq 0$ dan $x > \dfrac{1}{3}$
   yang berarti bahwa $x \in (\frac{1}{3}, \infty)$.
    
3. Pada kasus 3, diketahui $x < 0$ dan $1 - 3x \geq 0$.
   Syarat pada kasus ini ekuivalen dengan:
   $x < 0$ dan $x \leq \dfrac{1}{3}$
   yang berarti bahwa $x \in (- \infty, 0)$.
    
4. Pada kasus 4, diketahui $x < 0$ dan $1 - 3x < 0$.
   Syarat pada kasus ini ekuivalen dengan:
   $x < 0$ dan $x > \dfrac{1}{3}$.
   Syarat ini tidak dapat berlaku, sehingga dengan demikian kasus 4 tidak mungkin terjadi.

 

Sekarang kita akan menelaah lagi kasus 1, 2, dan 3.

 

1. Pada kasus 1, kita memperoleh $x \in [0, \frac{1}{3}]$.
   Pertidaksamaan $1 - 3x < 2 + x$ dapat diubah bentuknya menjadi:
   $x > - \dfrac{1}{4}$.
   Hal ini benar, bahwa untuk setiap $x \in [0, \frac{1}{3}]$, jelas berlaku $x > - \dfrac{1}{4}$.
    
2. Pada kasus 2, kita memperoleh $x \in (\frac{1}{3}, \infty)$.
   Pertidaksamaan $3x - 1 < 2 + x$ dapat diubah bentuknya menjadi:
   $x < \dfrac{3}{2}$.
   Hal ini salah, karena terdapat $x_1 = 10 \in (\frac{1}{3}, \infty)$, akan tetapi $x_1 = 10 > \dfrac{3}{2}$.
    
3. Pada kasus 3, kita memperoleh $1 - 3x < 2 - x$.
   Pertidaksamaan $3x - 1 < 2 + x$ dapat diubah bentuknya menjadi:
   $x > - \dfrac{1}{2}$.
   Hal ini salah, karena terdapat $x_2 = -10 \in (-\infty, 0)$, akan tetapi $x_2 = -10 < - \dfrac{1}{2}$.

 

Dengan demikian hanya kasus 1 yang berlaku benar.

Jadi, semua nilai $x \in \mathbb{R} $ yang memenuhi $\left| 1 - 3x \right|  < 2 + \left| x \right|$ berada pada himpunan $\left\{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq \dfrac{1}{3} \right\}$.

 

Selesai.