Pembahasan Soal Ujian Kalkulus Nilai Absolut #1

Halooo. Sudah lama sekali nggak menulis di blog ini.

 

Karena kebetulan sedang mumet kerjaan, marilah dengan demikian menyegarkan otak sejenak dengan cara mengerjakan soal ujian tengah semester mata kuliah Kalkulus.

 

Eh, kenapa pas mumet malah mengerjakan soal ujian matematika? Buat aku, itu adalah salah satu cara untuk menyegarkan otak dengan "suntikan" rentetan penalaran yang logis dan sistematis. Alhasil, ke-mumet-an yang mirip seperti benang kusut di otak pelan-pelan bisa terurai lagi. 

Oh iya, satu informasi lagi. Pada saat tulisan ini terbit, aku sudah hampir 10 tahun lulus dari Program Studi Matematika FMIPA UGM. Selama bertahun-tahun itu bisa dibilang aku jarang berurusan dengan soal-soal matematika macamnya Kalkulus ini.

 

Jadi, jika dalam pengerjaan ada banyak kesalahan ya mohon dimaklumi ya!   Semoga tulisan ini bisa menjadi sedikit pencerahan dan bukan penggelapan. 

 

Soal mata kuliah Kalkulus yang akan aku kerjakan ini berasal dari soal ujian tengah semester Program Studi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2017/2018. Berkas soal ujian tersebut bisa disimak di tautan ini.

 

Soal

Tentukan semua nilai $x \in \mathbb{R} $ yang memenuhi $\left| \dfrac{x + x^2}{x-3} \right|  \leq 1$.

 

Pembahasan

Aku pakai bahasa yang nggak terlalu "matematis" ya.  Pas di lembar jawaban ujian, penulisan pembahasannya ya nggak bisa sepanjang ini. Disingkat-singkat dengan tetap mempertahankan poin-poin penting.

 

Yang dimaksud $x \in \mathbb{R}$ itu adalah $x$ merupakan elemen bilangan real. Jangan lupa apa itu bilangan real.

 

Kita perhatikan dulu $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ ya! $\leftarrow$ belum di-nilai mutlak-kan.

Perhatikan bahwa $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ dapat

1. terdefinisi, atau
2. tidak terdefinisi $\rightarrow$ untuk $x = 3$ karena $\frac{3 + 3^2}{3-3} = \frac{12}{0}$ tidak terdefinisi karena penyebut pecahan $= 0$.

 

Jika $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ terdefinisi, maka 

1. $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ bisa $< 0$,
2. $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ bisa $= 0$, atau
3. $\dfrac{x + x^2}{x-3}$ bisa $> 0$.

 

Perhatikan juga apa yang dimaksud dengan pengertian nilai mutlak.

Misalkan $a \in \mathbb{R} $. Jika $v = | a |$, maka nilai $v$ dapat ditentukan seperti berikut:

$v = \left\{
  \begin{array}{lr}
    a & \text{, untuk } a \ge 0.\\
    -a & \text{, untuk } a < 0.
  \end{array}
\right.$

 

Menggunakan pengertian di atas, maka nilai $\left| \dfrac{x + x^2}{x-3} \right|  \leq 1$ berlaku untuk

1. $\dfrac{x + x^2}{x-3} \leq 1$ (#1), dan
2. $-1 \times \left( \dfrac{x + x^2}{x-3} \right) \leq 1 $ (#2).

 

Selanjutnya, akan dicari nilai $x \in \mathbb{R}$ yang memenuhi (#1) dan (#2).

Perhatikan (#1)! Pertidaksamaan tersebut dapat diubah bentuknya (disederhanakan) menjadi:

$\begin{array}{rrcl}
\text{} & \dfrac{x + x^2}{x-3} & \leq & 1 \\
\rightarrow & \dfrac{x + x^2}{x-3} - 1 & \leq & 1 - 1 \\
\rightarrow & \dfrac{x + x^2}{x-3} - \left( \dfrac{x-3}{x-3} \right) & \leq & 0 \\
\rightarrow & \dfrac{x^2 + 3}{x-3} & \leq & 0 \\
\end{array}$

 

Supaya $\dfrac{x^2 + 3}{x-3}$ terdefinisi, maka syarat utama yang harus dipenuhi adalah $ x \neq 3$, karena penyebut pecahan tidak boleh $= 0$.

Perhatikan bahwa untuk sebarang $x \in \mathbb{R}$, $x^2 + 3$ akan selalu $> 0$.

Dengan demikian, supaya $\dfrac{x^2 + 3}{x-3} \leq 0$ haruslah $x - 3 < 0$.

Pertidaksamaan $x - 3 < 0$ dapat diubah bentuknya menjadi $x < 3$.

 

Jadi, pertidaksaamaan $\dfrac{x^2 + 3}{x-3} \leq 0$ berlaku untuk semua nilai $x \in \left\{ x \in \mathbb{R} : x < 3 \right\}$. (hasil #1)

 

Lanjut, kita ganti perhatikan (#2)! Pertidaksamaan tersebut dapat diubah bentuknya (disederhanakan) menjadi:

$\begin{array}{rrcl}
\text{} & -1 \times \left( \dfrac{x + x^2}{x-3} \right) & \leq & 1 \\
\rightarrow & \dfrac{-x - x^2}{x-3} - 1 & \leq & 1 - 1 \\
\rightarrow & \dfrac{-x - x^2}{x-3} - \left( \dfrac{x-3}{x-3} \right) & \leq & 0 \\
\rightarrow & \dfrac{3- 2x - x^2}{x-3} & \leq & 0 \\
\rightarrow & \dfrac{(-1)(x-3)(1-x)}{(x-3)} & \leq & 0 \\
\end{array}$

 

Perhatikan bahwa karena $x \ne 3$ maka $x - 3 \ne 0$. Dengan demikian $(x-3)$ pada bagian pembilang dan penyebut dapat "dicoret" (kanselasi), sehingga menjadi

$\begin{array}{rrcl}
\rightarrow & (-1)(1-x) & \leq & 0 \\
\rightarrow & (x-1) & \leq & 0 \\
\rightarrow & x & \leq & 1 \\
\end{array}$

 

Jadi, pertidaksaamaan $-1 \times \left( \dfrac{x + x^2}{x-3} \right) \leq 0$ berlaku untuk semua nilai $x \in \left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 1 \right\}$. (hasil #2)

 

 

Fiuh.... #menghela.napas

 

 

Hingga sejauh ini, kita sudah mendapatkan

1.  $\left\{ x \in \mathbb{R} : x < 3 \right\}$ (hasil #1), dan
2. $\left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 1 \right\}$. (hasil #2)

 

Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk (#1) sekaligus (#2) adalah irisan dari (#hasil 1) dan (#hasil2).

Himpunan penyelesaian $= \left\{ x \in \mathbb{R} : x < 3 \right\} \cap \left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 1 \right\}$

$= \left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 1 \right\}$

 

 

Jadi, semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| \dfrac{x + x^2}{x-3} \right| \leq 1$ berada pada himpunan $\left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 1 \right\}$.

 

Selesai.