Pembuktian Teorema Dasar Subgrup

Pada kesempatan kali ini aku mau membahas tentang pembuktian teorema dasar subgrup dalam bidang struktur aljabar. Kenapa subgrup ini "menarik", karena untuk beberapa kesempatan kita dihadapkan dengan kondisi di mana kita harus "mengecilkan" anggota suatu himpunan dengan tetap mempertahankan identitasnya sebagai suatu grup.

 

Oke, teorema dasar subgrup ini adalah sebagai berikut.

Teorema

Diketahui grup $G$ dengan operasi biner $\star$. Suatu himpunan $H \subseteq G$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika:

1. $H$ tertutup terhadap operasi biner $\star$.
2. Elemen identitas $e$ di $G$ juga termuat di $H$.
3. Untuk setiap elemen $a$ di maka elemen invers-nya ($a^{-1}$) juga termuat di $H$.

 

Pembuktian

$(\rightarrow)$

Misalkan $H \subseteq G$ dan $H$ merupakan subgrup dari $G$. Maka sudah jelas bahwa $H$ juga merupakan grup terhadap operasi biner $\star$. Jadi $H$ tertutup terhadap operasi biner $\star$. (no. 1 terbukti)

Selanjutnya, karena elemen identitas $e$ adalah tunggal, maka karena $H$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ merupakan himpunan bagian dari $G$, bisa disimpulkan bahwa $e$ juga termuat di $H$. (no. 2 terbukti)

Terakhir, karena $H$ merupakan grup, maka setiap elemen di $H$ pasti memiliki invers terhadap operasi biner $\star$. (no. 3 terbukti) 

 

$(\leftarrow)$

Diketahui pernyataan (1), (2), dan (3) berlaku dan akan dibuktikan bahwa himpunan $H \subseteq G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$.

Berdasarkan pernyataan (1) dapat ditarik kesimpulan bahwa operasi biner $\star$ terdefinisi dengan baik (well defined) di $H$. Pernyataan (2) dan pernyataan (3) adalah dua aksioma grup. Sehingga, yang tersisa adalah membuktikan bahwa operasi biner $\star$ asosiatif.

Tapi, karena $H \subseteq G$ dan $G$ merupakan grup terhadap operasi biner $\star$. Maka setiap elemen di $H$ adalah elemen di $G$ dan operasi biner $\star$ bersifat asosiatif terhadap elemen-elemen tersebut. Yang demikian ini disebut sebagai sifat turunan dari $G$ sebagai himpunan yang memuat $H$.

 

Jadi, teorema dasar subgrup terbukti benar.