Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pembuktian Sifat Subgrup Berhingga dan Tertutup

{ 4.Nov.2015 } { matematika }

Dalam menentukan suatu subgrup seringkali kita tidak menyinggung tentang jumlah elemen-elemennya. Apakah berhingga (finite) ataukah tak berhingga (infinite). Nah, sifat berikut ini melekat pada subgrup dengan jumlah elemen berhingga. Tentu, yang dimaksud subgrup dengan jumlah elemen berhingga itu adalah jumlah seluruh anggota subgrup tersebut bisa dinyatakan dengan $n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}$.

 

Teorema

Diketahui $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$. Jika $H$ adalah himpunan bagian dari $G$ dengan:

  1. $H$ bukan himpunan kosong
  2. Jumlah elemen $H$ berhingga
  3. $H$ tertutup terhadap operasi biner $\star$

 maka $H$ adalah subgrup dari $G$.

 

Pembuktian

Misalkan $H = \{h_1, h_2, h_3, ..., h_n\}$. Karena $H$ bukan himpunan kosong dan $H$ tertutup terhadap operasi biner $\star$, maka untuk sebarang elemen $a, b \in H$ berlaku $a \star b \in H$. Implikasinya, untuk sebarang elemen $a \in H$ berlaku $a = h_1 \star h_2$ untuk suatu $h_1, h_2 \in H$.

Misalkan $a \in H$, maka diperoleh $a \star a \in H$. Tidak hanya $a \star a$ saja, tapi juga $a \star a \star a$, $a \star a \star a \star a$, dan $a \star a \star a \star \ldots \star a$ juga merupakan elemen di $H$.

Kita notasikan $a^n = a \star a \star \ldots \star a  \text{ sebanyak } n\text{-kali}$.

Karena $H$ adalah himpunan berhingga, maka untuk suatu bilangan asli $j, k \in \mathbb{N}$ dengan $j \neq k$ bakal berlaku

$a^j = a^k$

Karena $j \neq k$, maka di antara $j$ dan $k$ pasti ada yang terkecil. Misalnya saja ditentukan $j$ sebagai yang terkecil.

 

Bila $a$ = elemen identitas ($e$), maka jelas sudah bahwa

$e^j = e^k$

Nah, andaikan $a \neq e$. Apa yang bakal terjadi?

 

Karena $j < k$, maka $k = j + q$ untuk suatu $q \in \mathbb{N}$. Sehingga, dengan demikian berlaku

$a^j = a^k$

$a^j = a^j \star a^q$

 

Sekarang kita akan menyelidiki elemen $a^q$ ini. Apakah $a^q = e$? Belum bisa dipastikan. Apakah $a^q$ memiliki elemen invers berwujud $a^r$? Belum tahu juga. 

Tapi jelas kita tahu bahwa $a^q \in H$. Jangan lupa! $H$ adalah himpunan bagian dari $G$. Dengan demikian $a^q$ merupakan elemen di $H$ sekaligus elemen di $G$.

Tidak hanya $a^q$ saja, melainkan elemen $a^j$ juga merupakan elemen di $G$. Nah, karena $G$ merupakan grup terhadap operasi biner $\star$, maka $a^j$ memiliki elemen invers yaitu $(a^j)^{-1}$ di $G$.

Ingat lho ya! Elemen invers $(a^j)^{-1}$ ini merupakan elemen di $G$ dan kita belum tahu apakah elemen $(a^j)^{-1}$ ini juga termuat di $H$.

 

 Kembali ke persamaan

$a^j = a^j \star a^q$

Jika kita mengoperasikannya dengan elemen $(a^j)^{-1}$ akan diperoleh

$(a^j)^{-1} \star a^j = (a^j)^{-1} \star a^j \star a^q$

$e = e \star a^q$

$e = a^q$

 

Jadi, kita peroleh bukti bahwa $a^q = e$. Tapi, apakah benar kalau $e \in H$?

Sifat elemen identitas adalah ketunggalannya. Jadi, semisal $H$ memuat elemen identitas, sebut saja sebagai $e'$. Maka, tidak mungkin $e'$ dan $e$ ini berbeda. Pasti sama.

Karena kita tahu bahwa $a^q \in H$ dan $e$ elemen identitas tunggal maka dengan demikian $e \in H$ atau dengan kata lain memang benar bahwa $H$ memuat elemen identitas.

 

Terakhir, kita ambil sebarang elemen $a^r \in H$. Karena $e = a^q \in H$, maka $e = a^q = a^r \star a^s \in H$. 

Ingat bahwa, elemen $a^r$ juga merupakan elemen di $G$. Nah, karena $G$ merupakan grup terhadap operasi biner $\star$, maka $a^r$ memiliki elemen invers yaitu $(a^r)^{-1}$ di $G$. Karena sifat elemen invers ini tunggal, maka untuk setiap himpunan yang memuat elemen invers dari $a^r$ pastilah $(a^r)^{-1}$.

Dengan demikian, $a^s = (a^r)^{-1}$ yang berarti $(a^r)^{-1} \in H$.

 

Jadi, terbukti bahwa $H$ merupakan subgrup terhadap $G$.