Pembuktian Sifat Subgrup #2
Sejauh ini, kalau kita membuktikan apakah suatu himpunan bagian merupakan subgrup, maka kita akan menyelidiki atau membuktikan apakah 3 aksioma grup di bawah ini berlaku pada himpunan bagian tersebut.
- Operasi biner bersifat asosiatif pada himpunan bagian tersebut.
- Himpunan bagian tersebut memiliki elemen identitas.
- Setiap elemen pada himpunan bagian tersebut memiliki elemen invers.
Menyelidiki tiga aksioma di atas jelas membutuhkan banyak waktu (dan juga banyak kertas kalau pas ujian :p). Ada nggak ya, teorema yang lebih sederhana untuk membuktikan suatu subgrup. Jawabannya ada dan itu yang akan aku bahas pada kesempatan kali ini.
Teorema
Diketahui $G$ grup terhadap operasi biner $\star$, $H$ adalah himpunan bagian dari $G$.
Jika $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.
(catatan: $b^{-1}$ adalah elemen invers untuk $b$)
Pembuktian
Misalkan $a$ dan $b$ adalah sebarang elemen di $H$. Kita tidak tahu bagaimana hubungan elemen $a$ terhadap $b$ ini. Apakah $a = b$ atau $a \neq b$. Tapi yang jelas, karena $H$ bukan himpunan kosong, jadinya bisa dipastikan bahwa kita dapat memilih sebarang elemen di $H$ sebanyak dua kali, yaitu $a$ dan $b$.
Perhatikan bahwa pemilihan sebarang elemen di $H$ ini memungkinkan elemen yang sudah dipilih dapat dipilih lagi untuk yang kedua kali. Jadi, tidak benar bahwa, bila suatu elemen $a$ sudah dipilih maka elemen $a$ tidak dapat dipilih lagi.
Oke, balik lagi ke pembuktian.
Untuk kasus $b = a$ (kan elemen yang sama bisa dipilih dua kali). Berdasarkan teorema bahwa $a \star b^{-1} \in H$, kita akan memperoleh
$a \star b^{-1} = a \star a^{-1} = e \in H$
Berarti, dapat disimpulkan bahwa demikian $H$ memuat elemen identitas.
Sekarang, untuk kasus $a = e$ dan $b$ adalah sebarang elemen. Berdasarkan teorema bahwa $a \star b^{-1} \in H$, kita akan memperoleh
$a \star b^{-1} = e \star b^{-1} = b^{-1} \in H$
Berarti, dapat disimpulkan bahwa sebarang elemen di $H$ memiliki elemen invers.
Terakhir, misalkan $b$ sebarang elemen di $H$. Berdasarkan sifat di atas, kan diketahui bahwa elemen invers dari $b$ yaitu $b^{-1}$ juga merupakan elemen $H$. Kita juga tahu bahwa $(b^{-1})^{-1} = b$.
Sehingga dengan demikian, untuk sebarang elemen $a \in H$, berlaku
$a \star (b^{-1})^{-1} = a \star b \in H$
Berarti, bila untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$ akan berlaku juga bahwa $a \star b \in H$. Jadi, H tertutup terhadap operasi biner $\star$.
Sedangkan sifat asosiatif operasi biner $\star$ menurun dari $G$ karena $H$ merupakan himpunan bagian dari $G$.
Jadi, terbukti bahwa jika $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.
Sebaliknya, kita juga dapat membuktikan jika $H$ adalah subgrup dari $G$ maka $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.