Pembuktian Sifat Subgrup #2

Sejauh ini, kalau kita membuktikan apakah suatu himpunan bagian merupakan subgrup, maka kita akan menyelidiki atau membuktikan apakah 3 aksioma grup di bawah ini berlaku pada himpunan bagian tersebut.

1. Operasi biner bersifat asosiatif pada himpunan bagian tersebut.
2. Himpunan bagian tersebut memiliki elemen identitas.
3. Setiap elemen pada himpunan bagian tersebut memiliki elemen invers.

 

Menyelidiki tiga aksioma di atas jelas membutuhkan banyak waktu (dan juga banyak kertas kalau pas ujian :p). Ada nggak ya, teorema yang lebih sederhana untuk membuktikan suatu subgrup. Jawabannya ada dan itu yang akan aku bahas pada kesempatan kali ini.

 

Teorema

Diketahui $G$ grup terhadap operasi biner $\star$, $H$ adalah himpunan bagian dari $G$.

Jika $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.

(catatan: $b^{-1}$ adalah elemen invers untuk $b$)

 

Pembuktian

Misalkan $a$ dan $b$ adalah sebarang elemen di $H$. Kita tidak tahu bagaimana hubungan elemen $a$ terhadap $b$ ini. Apakah $a = b$ atau $a \neq b$. Tapi yang jelas, karena $H$ bukan himpunan kosong, jadinya bisa dipastikan bahwa kita dapat memilih sebarang elemen di $H$ sebanyak dua kali, yaitu $a$ dan $b$.

 

Perhatikan bahwa pemilihan sebarang elemen di $H$ ini memungkinkan elemen yang sudah dipilih dapat dipilih lagi untuk yang kedua kali. Jadi, tidak benar bahwa, bila suatu elemen $a$ sudah dipilih maka elemen $a$ tidak dapat dipilih lagi. 

 

Oke, balik lagi ke pembuktian.

 

Untuk kasus $b = a$ (kan elemen yang sama bisa dipilih dua kali). Berdasarkan teorema bahwa $a \star b^{-1} \in H$, kita akan memperoleh

$a \star b^{-1} = a \star a^{-1} = e \in H$

Berarti, dapat disimpulkan bahwa demikian $H$ memuat elemen identitas.

 

Sekarang, untuk kasus $a = e$ dan $b$ adalah sebarang elemen. Berdasarkan teorema bahwa $a \star b^{-1} \in H$, kita akan memperoleh

$a \star b^{-1} = e \star b^{-1} = b^{-1} \in H$

Berarti, dapat disimpulkan bahwa sebarang elemen di $H$ memiliki elemen invers.

 

Terakhir, misalkan $b$ sebarang elemen di $H$. Berdasarkan sifat di atas, kan diketahui bahwa elemen invers dari $b$ yaitu $b^{-1}$ juga merupakan elemen $H$. Kita juga tahu bahwa $(b^{-1})^{-1} = b$.

Sehingga dengan demikian, untuk sebarang elemen $a \in H$, berlaku

$a \star (b^{-1})^{-1} = a \star b \in H$

Berarti, bila untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$ akan berlaku juga bahwa $a \star b \in H$. Jadi, H tertutup terhadap operasi biner $\star$.

Sedangkan sifat asosiatif operasi biner $\star$ menurun dari $G$ karena $H$ merupakan himpunan bagian dari $G$.

 

Jadi, terbukti bahwa jika $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$, maka $H$ adalah subgrup dari $G$.

 

Sebaliknya, kita juga dapat membuktikan jika $H$ adalah subgrup dari $G$ maka $H$ bukan himpunan kosong dan untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a \star b^{-1} \in H$.