Pembuktian Sifat Subgrup #1

Halo! :D

Pada kesempatan ini aku akan membuktikan sifat dua subgrup yang "dioperasikan" secara bersama-sama. Karena ada kalanya kita harus "berkreasi" membentuk suatu subgrup baru dari dua subgrup yang sudah ada.

 

Teorema

Jika $G$ adalah grup abelian (operasi binernya $\star$) serta $H$ dan $K$ adalah subgrup dari $G$, maka

$V = \{ h \star k : h \in H \text{ dan } k \in K \}$

adalah subgrup dari $G$. 

 

Pembuktian

Misal, diambil sebarang elemen $a, b \in V$, maka $a = h_1 \star k_1$ dan $b = h_2 \star k_2$ untuk suatu $h_1, h_2 \in H$ dan $k_1, k_2 \in K$.

 

Kalau dibentuk $a \star b$ maka berlaku

$a \star b = (h_1 \star k_1) \star (h_2 \star k_2)$

 

Teorema menyebutkan bahwa $G$ adalah grup abelian, artinya untuk setiap elemen $x, y \in G$ berlaku

$x \star y = y \star x$

 

Dengan demikian, bentuk $a \star b$ menjadi:

$a \star b = (h_1 \star k_1) \star (h_2 \star k_2)$

$ = h_1 \star (k_1 \star h_2) \star k_2$

$ = h_1 \star (h_2 \star k_1) \star k_2$

$ = (h_1 \star h_2) \star (k_1 \star k_2)$

$ = (h_3) \star (k_3)$ untuk suatu $h_3 \in H$ dan $k_3 \in K$

 

Jadi, kita peroleh sifat untuk sebarang  $a, b \in V$, maka $a \star b \in V$.

 

Dari sifat di atas, untuk sebarang $a, b, c \in V$, maka akan berlaku $a \star b \star c \in V$.

Karena operasi biner $\star$ bersifat asosiatif di $G$ dan $H, K, V \subseteq G$ maka sifat asosiatif tersebut juga menurun pada $H$, $K$, dan $V$.

Alhasil, untuk sebarang $a, b, c \in V$ berlaku $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$

Jadi, terbukti bahwa operasi biner $\star$ bersifat asosiatif di $V$. (bukti 1)

 

Selanjutnya, akan diselidiki elemen identitas pada $V$.

Karena $H$ dan $K$ adalah subgrup dari $G$, maka jika $e$ adalah elemen identitas di $G$ akan berlaku $e \in H$ dan $e \in K$.

Karena $e \star e = e$ maka $e \in V$.

Jadi, $V$ diketahui memiliki elemen identitas. (bukti 2)

 

Terakhir, akan diselidiki elemen invers pada $V$.

Misalkan $a$ sebarang elemen pada $V$, maka $a = h_1 \star k_1$ untuk suatu $h_1 \in H$ dan $k_1 \in K$

Karena $H$ dan $K$ merupakan grup, maka setiap elemen pada $H$ dan $K$ memiliki invers, termasuk elemen $h_1$ dan $k_1$.

Misalnya, $h_1^{-1}$ adalah elemen invers $h_1$ dan $k_1^{-1}$ adalah elemen invers $k_1$.

Perhatikan bahwa $h_1^{-1} \star k_1^{-1} \in V$ 

Dengan demikian, bila dipilih elemen $b \in V$ dengan $b = h_1^{-1} \star k_1^{-1}$, akan berlaku

$a \star b = (h_1 \star k_1) \star (h_1^{-1} \star k_1^{-1})$

$= h_1 \star (k_1 \star h_1^{-1}) \star k_1^{-1}$

$= h_1 \star (h_1^{-1} \star k_1) \star k_1^{-1}$

$= (h_1 \star h_1^{-1}) \star (k_1 \star k_1^{-1})$

$=e \star e$

$=e$

Diperoleh hasil $a \star b = e$. Dengan cara yang serupa, diperoleh juga bahwa $b \star a = e$.

Jadi, dapat disimpulkan setiap elemen di $V$ memiliki invers. (bukti 3)

 

Berdasarkan (bukti 1), (bukti 2), dan (bukti 3) dapat disimpulkan bahwa $V = \{ h \star k : h \in H \text{ dan } k \in K \}$ merupakan subgrup dari $G$.