Maw Mumet!

- karena banyak hal yang tidak bisa diselesaikan sambil ngendog -

Pengantar Teori Koset Grup

{ 3.Jul.2016 } { matematika }

Halo! :D

Pada kesempatan ini aku mau membahas tentang "sesuatu" dalam teori grup di pengantar struktur aljabar yang bernama koset (cosets). Gampangnya gini sih. Koset itu merupakan semacam partisi pada grup. Disebut partisi karena memang ya ada suatu relasi ekuivalensi yang mengelompokkan elemen-elemen pada grup pada suatu kelas-kelas tertentu.

 

Ya itu tadi, teori koset sangat berguna ketika kita ingin mempartisi suatu grup dan menyelidiki sifat-sifat di kelas-kelas ekuivalensi tersebut. Mirip seperti partisi pada harddisk lah. Kadang kan kita butuh untuk berkutat dengan suatu bagian dari harddisk dibandingkan harddisknya secara keseluruhan. :D


Nah, di atas itu kan aku menyebut tentang relasi ekuivalensi. Oleh sebab itu, sekarang aku mau mendefinisikan suatu relasi pada grup $G$ sebagai berikut.

 

Definisi

Diketahui $G$ grup terhadap suatu operasi biner $\star$ dan $H$ subgrup dari $G$.

Untuk $a, b \in H$, relasi $L$ pada $G$ didefinisikan sebagai

$aLb \iff a^{-1} * b \in H$

 

Sifat relasi ekuivalensi akan kita selidiki dari teorema berikut.

 

Teorema

Relasi $L$ pada grup $G$ di atas merupakan relasi ekuivalensi.

Bukti

Untuk menunjukkan suatu relasi merupakan relasi ekuivalensi, kita harus menunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi refleksif, simetris, dan transitif.

 

Pertama-tama, perhatikan karena $H$ subgrup dari $G$, maka untuk setiap $a \in H$ terdapat $a^{-1} \in H$ sehingga berlaku

$a^{-1} \star a = e \in H$.

Dengan demikian dapat disimpulkan $aLa$, yakni $L$ merupakan relasi refleksif.

 

Kedua, misalkan untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $aLb$. Dengan demikian $a^{-1} \star b \in H$.

Karena $H$ subgrup dari $G$, maka setiap elemennya memiliki invers. Termasuk juga untuk elemen $a^{-1} \star b$.

Dengan demikian kita peroleh, $(a^{-1} \star b)^{-1} \in H$.

Bila $(a^{-1} \star b)^{-1}$ dijabarkan akan diperoleh  $ (a^{-1} \star b)^{-1}  = b^{-1} \star a$.

Dari sini kita peroleh $bLa$.

Jadi, relasi $L$ merupakan relasi simetris.

 

Ketiga, misalkan untuk setiap $a,b, c \in H$ berlaku $aLb$ dan $bLc$ . Dengan demikian $a^{-1} \star b \in H$ dan $b^{-1} \star c \in H$ .

Karena $H$ subgrup dari $G$, maka $(a^{-1} \star b) \star (b^{-1} \star c) \in H$.

Bila $ (a^{-1} \star b) \star (b^{-1} \star c)$ dijabarkan akan diperoleh

$(a^{-1} \star b) \star (b^{-1} \star c) = a^{-1} \star (b \star b^{-1}) \star c =  a^{-1} \star e \star c = a^{-1} \star c$

Dari sini kita peroleh $aLc$.

Jadi, relasi $L$ merupakan relasi transitif.

 

Jadi, terbukti bahwa relasi $L$ merupakan relasi ekuivalensi.


Setelah di atas kita membuktikan bahwa relasi $L$ merupakan relasi ekuivalensi pada grup $G$, sekarang mari kita selidiki seperti apa sih elemen-elemen di kelas-kelas partisi tersebut. Pada penasaran nggak sih? Hehehe. :D

 

Misalkan kita ambil sebarang elemen $a \in G$ kemudian kita himpun semua elemen di $G$ yang berelasi $L$ dengan $a$. Kita sebut himpunan ini sebagai himpunan $X$ dengan syarat keanggotaan $X = \{x \in G | aLx \}$ atau dengan kata lain $X = \{x \in G | a^{-1} \star x \in H \}$.

 

Perhatikan, $a^{-1} \star x \in H$ berlaku jika dan hanya jika $a^{-1} \star x = h$ untuk suatu $h \in H$ atau dengan kata lain $x = a \star h$. Jadi kelas $X$ yang memuat elemen $a$ ini bisa kita nyatakan syarat keanggotaannya menjadi

$X = \{x \in G | a \star h, \text{untuk suatu } h \in H \}$

atau

$X = \{h \in H | a \star h\}$.

Nah, kelas $X$ yang memuat elemen $a$ ini selanjutnya kita notasikan sebagai $aH$.

 

Sekarang kita bisa mendefinisikan apa yang disebut sebagai koset.

 

Definisi

Diketahui $G$ grup terhadap operasi biner $\star$ dan $H$ subgrup dari $G$. Jika $a \in G$, maka himpunan bagian $aH = \{h \in H | a \star h\} disebut sebagai koset kiri dari $H$ yang memuat $a$. Sedangkan, himpunan bagian $Ha = \{h \in H | h \star a\} disebut sebagai koset kanan dari $H$ yang memuat $a$.